Номер 84, страница 63 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. На стороне NP треугольника DNP отметили точку C так, что $NC : CP = 3 : 2$. Биссектриса NM перпендикулярна отрезку DC. Найдите DN, если известно, что $PC = 4 \text{ см}$.

84. На стороне $NP$ треугольника $DNP$ отметили точку $C$ так, что $NC : CP = 3 : 2$. Биссектриса $NM$ перпендикулярна отрезку $DC$. Найдите $DN$, если известно, что $PC = 4 \text{ см}$.

1. Найдём длину отрезка $NC$. Из условия задачи известно, что соотношение отрезков $NC : CP = 3 : 2$, а длина отрезка $PC = 4$ см. Составим пропорцию: $\frac{NC}{PC} = \frac{3}{2}$ Подставим известное значение $PC$: $\frac{NC}{4} = \frac{3}{2}$ Выразим и вычислим $NC$: $NC = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ см.

2. Рассмотрим треугольник $DNC$. Пусть биссектриса $NM$ пересекает отрезок $DC$ в точке $K$. Поскольку $NM$ является биссектрисой угла $DNP$, то она делит угол $\angle DNP$ пополам: $\angle DNM = \angle PNM$. Так как точка $C$ лежит на стороне $NP$, то отрезок $NK$ является биссектрисой угла $DNC$ в треугольнике $DNC$. Также по условию задачи биссектриса $NM$ перпендикулярна отрезку $DC$ ($NM \perp DC$), это означает, что отрезок $NK$ является высотой в треугольнике $DNC$, проведённой из вершины $N$ к стороне $DC$.

3. В треугольнике $DNC$ отрезок $NK$ одновременно является и биссектрисой, и высотой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $DNC$ — равнобедренный с основанием $DC$. Его боковые стороны, исходящие из вершины $N$, равны: $DN = NC$.

4. Зная, что $NC = 6$ см, и доказав, что $DN = NC$, находим длину $DN$: $DN = 6$ см.

Ответ: 6 см.