Номер 78, страница 62 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE$. Докажите, что $AE = CD$.

78. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно отметили точки $D$ и $E$ так, что $AD = CE$. Докажите, что $AE = CD$.

Дано:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$. На этих сторонах отмечены точки $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD = CE$.

Доказать:

$AE = CD$.

Доказательство:

Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $CD$ рассмотрим треугольники $\Delta ADC$ и $\Delta CEA$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников ($\Delta ADC$ и $\Delta CEA$).

2. По условию задачи нам дано, что $AD = CE$.

3. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Угол $\angle DAC$ является частью угла $\angle BAC$ (фактически, это тот же угол), а угол $\angle ECA$ является частью угла $\angle BCA$ (аналогично, это тот же угол). Следовательно, мы можем утверждать, что $\angle DAC = \angle ECA$.

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $\Delta ADC$ и $\Delta CEA$ две стороны и угол между ними соответственно равны:

$AD = CE$ (по условию),

$AC$ — общая сторона,

$\angle DAC = \angle ECA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta ADC = \Delta CEA$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон. Сторона $AE$ в треугольнике $\Delta CEA$ лежит напротив угла $\angle ECA$. Сторона $CD$ в треугольнике $\Delta ADC$ лежит напротив угла $\angle DAC$. Так как $\angle DAC = \angle ECA$, то противолежащие им стороны $CD$ и $AE$ также равны.

Значит, $AE = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AE = CD$ доказано на основании равенства треугольников $\Delta ADC$ и $\Delta CEA$ по первому признаку.