Номер 69, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. На рисунке 164 $AB = BC$, $\angle ABD = \angle CBE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найдите угол $BDC$, если $\angle BEA = 100^\circ$.

Рис. 164

69. На рисунке 164 $AB = BC$, $\angle ABD = \angle CBE$, $\angle BAD = \angle BCE$. Найдите угол $BDC$, если $\angle BEA = 100^\circ$.

Рис. 164

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$. По условию задачи дано, что $\angle BAD = \angle BCE$ и $\angle ABD = \angle CBE$. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольник $ABD$ подобен треугольнику $CBE$ ($\triangle ABD \sim \triangle CBE$) по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BE} = \frac{AD}{CE}$. По условию задачи известно, что $AB = BC$, следовательно, отношение их длин $\frac{AB}{CB} = 1$. Из этого следует, что и отношение $\frac{BD}{BE} = 1$, что означает $BD = BE$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABE$ и $CBD$. Сравним их элементы:

1. $AB = BC$ по условию.

2. $BE = BD$ как было доказано выше.

3. Угол $\angle ABE$ состоит из суммы углов $\angle ABD$ и $\angle DBE$, то есть $\angle ABE = \angle ABD + \angle DBE$. Аналогично, угол $\angle CBD = \angle CBE + \angle DBE$. Так как по условию $\angle ABD = \angle CBE$, то и $\angle ABE = \angle CBD$.

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $ABE$ ($AB$, $BE$ и $\angle ABE$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $CBD$ ($BC$, $BD$ и $\angle CBD$). Следовательно, $\triangle ABE = \triangle CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответственные углы равны. Угол $BDC$ в треугольнике $CBD$ является соответственным углу $BEA$ в треугольнике $ABE$. Отсюда следует, что $\angle BDC = \angle BEA$.

По условию задачи $\angle BEA = 100^\circ$, значит, искомый угол $\angle BDC$ также равен $100^\circ$.

Ответ: 100°.