Номер 68, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. На рисунке 163 $PO = OF$, $\angle APO = \angle CFO$, $\angle ACB = \angle CAD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 163

68. На рисунке 163 $PO = OF$, $\angle APO = \angle CFO$, $\angle ACB = \angle CAD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Рис. 163

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $, сначала рассмотрим треугольники $ \triangle APO $ и $ \triangle CFO $.

В этих треугольниках:

• $ PO = OF $ (по условию).
• $ \angle APO = \angle CFO $ (по условию).
• $ \angle AOP = \angle COF $ (как вертикальные углы).

Следовательно, $ \triangle APO = \triangle CFO $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ \triangle APO $ и $ \triangle CFO $ следует равенство их соответственных элементов. В частности, равны углы $ \angle PAO $ и $ \angle FCO $. Поскольку точка $ P $ лежит на стороне $ AB $, а точка $ F $ – на стороне $ CD $, то это равенство можно записать как $ \angle BAC = \angle DCA $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $:

• $ \angle ACB = \angle CAD $ (по условию).
• $ AC $ – общая сторона.
• $ \angle BAC = \angle DCA $ (доказано выше).

Таким образом, $ \triangle ABC = \triangle ADC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $ \triangle ABC = \triangle ADC $, доказано.