Номер 64, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. На рисунке 159 $BD = BF$, $\angle BDE = \angle BFK$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBF$.

Рис. 159

64. На рисунке 159 $BD = BF$, $\angle BDE = \angle BFK$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CBF$.

Рис. 159

Для доказательства равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔCBF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для этого нам нужно показать, что у этих треугольников равны одна сторона и два прилежащих к ней угла.

1. Рассмотрим углы $∠ABD$ и $∠CBF$.

Эти углы являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AF$ и $CD$. По свойству вертикальных углов они равны:

$∠ABD = ∠CBF$.

2. Рассмотрим углы $∠ADB$ и $∠CFB$.

Угол $∠ADB$ является смежным с углом $∠BDE$, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AE$. Сумма смежных углов равна $180°$, поэтому:

$∠ADB = 180° - ∠BDE$.

Аналогично, угол $∠CFB$ является смежным с углом $∠BFK$ на прямой $CK$. Поэтому:

$∠CFB = 180° - ∠BFK$.

По условию задачи дано, что $∠BDE = ∠BFK$. Так как равны эти углы, то равны и смежные с ними углы:

$∠ADB = 180° - ∠BDE = 180° - ∠BFK = ∠CFB$.

3. Сравним треугольники $ΔABD$ и $ΔCBF$.

Мы установили, что:

- $BD = BF$ (по условию задачи).

- $∠ABD = ∠CBF$ (как вертикальные углы).

- $∠ADB = ∠CFB$ (как смежные с равными углами).

Сторона $BD$ и прилежащие к ней углы $∠ABD$ и $∠ADB$ треугольника $ΔABD$ соответственно равны стороне $BF$ и прилежащим к ней углам $∠CBF$ и $∠CFB$ треугольника $ΔCBF$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $ΔABD = ΔCBF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABD$ и $ΔCBF$ доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).