Номер 66, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 161 $CM = PA, \angle C = \angle A, \angle CPK = \angle AMK.$ Докажите, что $\angle CKM = \angle AKP.$

Рис. 161

66. На рисунке 161 $CM = PA$, $\angle C = \angle A$, $\angle CPK = \angle AMK$.

Докажите, что $\angle CKM = \angle AKP$.

Рис. 161

Для доказательства равенства углов $\angle CKM$ и $\angle AKP$ воспользуемся методом сравнения треугольников.

Доказательство

1. Рассмотрим треугольник $ACK$. Согласно условию задачи, $\angle C = \angle A$. В треугольнике $ACK$ эти углы являются углами при основании $AC$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ACK$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Таким образом, $CK = AK$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $CKM$ и $AKP$. Сравним их, используя данные из условия и результат, полученный в предыдущем пункте:

• $CM = PA$ (по условию).
• $\angle C = \angle A$ (по условию), что соответствует равенству углов $\angle KCM = \angle KAP$.
• $CK = AK$ (как доказано в п. 1).

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника ($CK$, $CM$ и $\angle C$ в $\triangle CKM$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($AK$, $AP$ и $\angle A$ в $\triangle AKP$), то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (признак СУС - сторона-угол-сторона).

Итак, $\triangle CKM = \triangle AKP$.

3. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответственных элементов, включая углы. Угол $\angle CKM$ в треугольнике $CKM$ соответствует углу $\angle AKP$ в треугольнике $AKP$.

Следовательно, $\angle CKM = \angle AKP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CKM = \angle AKP$ доказано.