Номер 60, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $DE$ и $PK$ пересекаются в точке $S$ так, что $DS : SE = PS : SK = 2 : 3$. Докажите, что $\Delta DSK = \Delta PSE$.

60. Равные отрезки $DE$ и $PK$ пересекаются в точке $S$ так, что $DS : SE = PS : SK = 2 : 3$. Докажите, что $\triangle DSK = \triangle PSE$.

Докажите, что $\Delta DSK = \Delta PSE$:

По условию задачи, равные отрезки $DE$ и $PK$ пересекаются в точке $S$. Это означает, что $DE = PK$.

Также даны отношения, в которых точка $S$ делит эти отрезки:

$DS : SE = 2 : 3$

$PS : SK = 2 : 3$

Введем коэффициент пропорциональности $k_1$ для отрезка $DE$. Тогда длины его частей можно выразить как $DS = 2k_1$ и $SE = 3k_1$. Полная длина отрезка $DE$ будет равна $DE = DS + SE = 2k_1 + 3k_1 = 5k_1$.

Аналогично введем коэффициент пропорциональности $k_2$ для отрезка $PK$. Тогда длины его частей можно выразить как $PS = 2k_2$ и $SK = 3k_2$. Полная длина отрезка $PK$ будет равна $PK = PS + SK = 2k_2 + 3k_2 = 5k_2$.

Поскольку по условию $DE = PK$, мы можем приравнять их длины:

$5k_1 = 5k_2$

Отсюда следует, что $k_1 = k_2$. Обозначим этот общий коэффициент как $k$.

Тогда длины отрезков, являющихся сторонами треугольников $\Delta DSK$ и $\Delta PSE$, равны:

• $DS = 2k$
• $SE = 3k$
• $PS = 2k$
• $SK = 3k$

Теперь сравним элементы треугольников $\Delta DSK$ и $\Delta PSE$ для доказательства их равенства:

1. Сторона $DS$ треугольника $\Delta DSK$ равна $2k$. Сторона $PS$ треугольника $\Delta PSE$ равна $2k$. Следовательно, $DS = PS$.
2. Сторона $SK$ треугольника $\Delta DSK$ равна $3k$. Сторона $SE$ треугольника $\Delta PSE$ равна $3k$. Следовательно, $SK = SE$.
3. Углы $\angle DSK$ и $\angle PSE$ являются вертикальными углами, так как они образованы при пересечении отрезков $DE$ и $PK$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle DSK = \angle PSE$.

Таким образом, две стороны и угол между ними в треугольнике $\Delta DSK$ (стороны $DS$ и $SK$, и угол $\angle DSK$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\Delta PSE$ (стороны $PS$ и $SE$, и угол $\angle PSE$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta DSK = \Delta PSE$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta DSK$ и $\Delta PSE$ доказано по первому признаку равенства треугольников, так как из условий задачи следует, что $DS=PS$, $SK=SE$, и угол между этими сторонами $\angle DSK = \angle PSE$ (как вертикальные углы).