Номер 59, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $BD$ и $CE$. Периметры треугольников $ACE$ и $BCE$ равны, а периметр треугольника $BCD$ меньше периметра треугольника $ABD$ на 4 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если его периметр равен 34 см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $BD$ и $CE$. Периметры треугольников $ACE$ и $BCE$ равны, а периметр треугольника $BCD$ меньше периметра треугольника $ABD$ на 4 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если его периметр равен 34 см.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$.

По условию, в треугольнике проведены медианы $BD$ и $CE$.

• Медиана $CE$ проведена к стороне $AB$, следовательно, она делит эту сторону пополам: $AE = EB = \frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$.
• Медиана $BD$ проведена к стороне $AC$, следовательно, она делит эту сторону пополам: $AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим условия, данные в задаче, и составим на их основе уравнения.

1. Периметры треугольников $ACE$ и $BCE$ равны ($P_{ACE} = P_{BCE}$).

Периметр треугольника $ACE$ складывается из сторон $AC$, $AE$ и $CE$: $P_{ACE} = AC + AE + CE = b + \frac{c}{2} + CE$.

Периметр треугольника $BCE$ складывается из сторон $BC$, $BE$ и $CE$: $P_{BCE} = BC + BE + CE = a + \frac{c}{2} + CE$.

Приравнивая периметры, получаем:

$b + \frac{c}{2} + CE = a + \frac{c}{2} + CE$

Вычитая из обеих частей равенства $(\frac{c}{2} + CE)$, приходим к выводу, что $b = a$. Это означает, что стороны $AC$ и $BC$ равны, и треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. Периметр треугольника $BCD$ меньше периметра треугольника $ABD$ на 4 см ($P_{ABD} - P_{BCD} = 4$).

Периметр треугольника $ABD$ равен: $P_{ABD} = AB + AD + BD = c + \frac{b}{2} + BD$.

Периметр треугольника $BCD$ равен: $P_{BCD} = BC + CD + BD = a + \frac{b}{2} + BD$.

Подставляем эти выражения в разность:

$(c + \frac{b}{2} + BD) - (a + \frac{b}{2} + BD) = 4$

$c + \frac{b}{2} + BD - a - \frac{b}{2} - BD = 4$

После упрощения получаем $c - a = 4$.

3. Периметр треугольника $ABC$ равен 34 см.

$P_{ABC} = AB + BC + AC = c + a + b = 34$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения сторон $a, b, c$:

$\begin{cases} b = a \\ c - a = 4 \\ a + b + c = 34\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $c$ через $a$: $c = a + 4$.

Подставим выражения для $b$ и $c$ в третье уравнение:

$a + a + (a + 4) = 34$

$3a + 4 = 34$

$3a = 34 - 4$

$3a = 30$

$a = 10$ см.

Теперь, зная $a$, находим длины двух других сторон:

$b = a = 10$ см.

$c = a + 4 = 10 + 4 = 14$ см.

Итак, стороны треугольника $ABC$ равны: $BC = 10$ см, $AC = 10$ см, $AB = 14$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 14 см.