Номер 52, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Углы $AOB$ и $AOC$ равны, а точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $AOB$ и $AOC$ прямые.

52. Углы $AOB$ и $AOC$ равны, а точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $AOB$ и $AOC$ прямые.

Поскольку точки B, O и C лежат на одной прямой, угол $\angle BOC$ является развернутым. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ являются смежными, так как у них общая вершина O, общая сторона OA, а две другие стороны OB и OC являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle AOB + \angle AOC = 180^\circ$

Согласно условию задачи, углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ равны:

$\angle AOB = \angle AOC$

Заменим в уравнении суммы углов $\angle AOC$ на равный ему $\angle AOB$:

$\angle AOB + \angle AOB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$

Теперь найдем величину угла $\angle AOB$:

$\angle AOB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку $\angle AOB = \angle AOC$, то и $\angle AOC = 90^\circ$.

Углы, равные $90^\circ$, называются прямыми. Следовательно, углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ — прямые. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точки B, O, C лежат на одной прямой, то смежные углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ в сумме дают развернутый угол $180^\circ$. По условию эти углы равны, следовательно, каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$, то есть они являются прямыми.