Номер 98, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. На рисунке 179 найдите градусную меру угла x.

Рис. 179

Линии: a, b, m, n

Углы: $x$, $80^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$

Линии: a, b, m, n

Углы: $150^\circ$, $160^\circ$, $x$

98. На рисунке 179 найдите градусную меру угла $x$.

Рис. 179

а

$a$, $b$, $m$, $n$, $x$, $80^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$.

б

$a$, $b$, $m$, $n$, $150^\circ$, $160^\circ$, $x$.

а

1. Сначала определим, параллельны ли прямые a и b. Рассмотрим их и секущую n. Углы $40^\circ$ и $140^\circ$ являются внутренними односторонними углами.

2. Согласно свойству параллельных прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Проверим это условие: $40^\circ + 140^\circ = 180^\circ$.

3. Так как сумма углов равна $180^\circ$, мы можем заключить, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

4. Теперь рассмотрим параллельные прямые a и b и секущую m. Обозначим угол, вертикальный углу x, как $\angle 1$. Углы $\angle 1$ и $80^\circ$ являются внутренними односторонними углами.

5. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle 1 + 80^\circ = 180^\circ$.

6. Из этого уравнения находим $\angle 1$: $\angle 1 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

7. Поскольку углы x и $\angle 1$ вертикальные, они равны: $x = \angle 1 = 100^\circ$.

Ответ: $x = 100^\circ$

б

1. Для нахождения угла x продолжим секущие m и n до их пересечения в точке, которую назовем P. Это создаст два треугольника.

2. Рассмотрим верхний треугольник, образованный прямыми a, m и n. Внутренние углы этого треугольника при прямой a являются смежными к данным углам $150^\circ$ и $160^\circ$. Найдем их величины:

• Первый угол: $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.
• Второй угол: $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол (при вершине P): $180^\circ - (20^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

4. Теперь рассмотрим нижний треугольник, образованный прямыми b, m и n. Угол при вершине P в этом треугольнике является вертикальным к углу, найденному в предыдущем шаге, и, следовательно, тоже равен $130^\circ$.

5. Внутренний угол этого треугольника при прямой b и секущей m является смежным с данным углом $160^\circ$. Его величина: $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

6. Искомый угол x является вертикальным к третьему внутреннему углу нижнего треугольника (при пересечении прямых b и n). Обозначим этот внутренний угол как $\angle y$. Таким образом, $x = \angle y$.

7. Зная два угла нижнего треугольника ($130^\circ$ и $20^\circ$), найдем третий угол $\angle y$: $\angle y = 180^\circ - (130^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

8. Так как $x = \angle y$, то $x = 30^\circ$.

Ответ: $x = 30^\circ$