Номер 101, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. На стороне $BC$ угла $ABC$ отметили точку $D$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекла биссектрису угла $ABC$ в точке $M$. Найдите углы $ABM$ и $BDM$, если $\angle BMD = 35^\circ$.

101. На стороне $BC$ угла $ABC$ отметили точку $D$ и через неё провели прямую, параллельную стороне $BA$. Эта прямая пересекла биссектрису угла $ABC$ в точке $M$. Найдите углы $ABM$ и $BDM$, если $\angle BMD = 35^{\circ}$.

Нахождение угла ABM

По условию задачи, через точку D проведена прямая, параллельная стороне BA. Обозначим эту прямую как DM. Таким образом, мы имеем две параллельные прямые $BA$ и $DM$, и секущую $BM$.

Углы $ \angle ABM $ и $ \angle BMD $ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BA$ и $DM$ и секущей $BM$. По свойству параллельных прямых, такие углы равны: $ \angle ABM = \angle BMD $.

Так как по условию $ \angle BMD = 35^{\circ} $, то и $ \angle ABM = 35^{\circ} $.

Ответ: $ \angle ABM = 35^{\circ} $.

Нахождение угла BDM

По условию, BM — биссектриса угла $ \angle ABC $. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла: $ \angle ABM = \angle MBC $.

Точка D лежит на стороне BC, поэтому угол $ \angle MBC $ — это тот же угол, что и $ \angle MBD $. Следовательно, $ \angle MBD = \angle ABM $.

Из предыдущего шага известно, что $ \angle ABM = 35^{\circ} $, а значит $ \angle MBD = 35^{\circ} $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle BDM $. Сумма углов в треугольнике равна $ 180^{\circ} $: $ \angle BDM + \angle BMD + \angle MBD = 180^{\circ} $.

Подставим известные значения углов ($ \angle BMD = 35^{\circ} $ и $ \angle MBD = 35^{\circ} $):
$ \angle BDM + 35^{\circ} + 35^{\circ} = 180^{\circ} $
$ \angle BDM + 70^{\circ} = 180^{\circ} $

Отсюда находим $ \angle BDM $:
$ \angle BDM = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} $

Ответ: $ \angle BDM = 110^{\circ} $.