Номер 106, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Найдите на рисунке 183 неизвестные углы треугольника DEF.

Рис. 183

а

В треугольнике DEF: внешний угол при вершине D равен $71^\circ$; угол F равен $17^\circ$.

б

В треугольнике DEF: внешний угол при вершине D равен $152^\circ$; угол E равен $37^\circ$.

в

В треугольнике DEF: угол D равен $134^\circ$; внешний угол при вершине F равен $157^\circ$.

106. Найдите на рисунке 183 неизвестные углы треугольника DEF.

Рис. 183

а

$D: 71^\circ$; $F: 17^\circ$.

б

$D: 152^\circ$; $E: 37^\circ$.

в

$D: 134^\circ$; $F: 157^\circ$.

а

В треугольнике $DEF$ дан внешний угол при вершине $D$, равный $71^\circ$, и внутренний угол при вершине $F$, $\angle F = 17^\circ$. Необходимо найти неизвестные углы $\angle D$ и $\angle E$.

1. Внутренний угол треугольника при вершине $D$ и смежный с ним внешний угол в сумме составляют $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$.

2. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла треугольника, $\angle D = 109^\circ$ и $\angle F = 17^\circ$, мы можем найти третий угол $\angle E$:

$\angle E = 180^\circ - (\angle D + \angle F) = 180^\circ - (109^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.

Неизвестные углы треугольника: $\angle D = 109^\circ$ и $\angle E = 54^\circ$.

Ответ: $\angle D = 109^\circ$, $\angle E = 54^\circ$.

б

В треугольнике $DEF$ дан внешний угол при вершине $D$, равный $152^\circ$, и внутренний угол при вершине $E$, $\angle E = 37^\circ$. Необходимо найти неизвестные углы $\angle D$ и $\angle F$.

1. Внутренний угол $\angle D$ является смежным с внешним углом при той же вершине. Их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$.

2. Сумма углов треугольника $DEF$ равна $180^\circ$. Зная углы $\angle D = 28^\circ$ и $\angle E = 37^\circ$, найдем угол $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = 180^\circ - (28^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

Неизвестные углы треугольника: $\angle D = 28^\circ$ и $\angle F = 115^\circ$.

Ответ: $\angle D = 28^\circ$, $\angle F = 115^\circ$.

в

В треугольнике $DEF$ даны внешний угол при вершине $D$, равный $134^\circ$, и внешний угол при вершине $F$, равный $157^\circ$. Необходимо найти все три внутренних угла треугольника: $\angle D$, $\angle E$ и $\angle F$.

1. Внутренний угол треугольника и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^\circ$. Найдем внутренний угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.

2. Аналогично найдем внутренний угол $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - 157^\circ = 23^\circ$.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $\angle D = 46^\circ$ и $\angle F = 23^\circ$, найдем третий угол $\angle E$:

$\angle E = 180^\circ - (\angle D + \angle F) = 180^\circ - (46^\circ + 23^\circ) = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$.

Неизвестные углы треугольника: $\angle D = 46^\circ$, $\angle E = 111^\circ$, $\angle F = 23^\circ$.

Ответ: $\angle D = 46^\circ$, $\angle E = 111^\circ$, $\angle F = 23^\circ$.