Номер 103, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. На рисунке 182 $AB \parallel CD$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle BAO = 150^\circ$, $\angle OCD = 20^\circ$.

Рис. 182

103. На рисунке 182 $AB \parallel CD$. Найдите $\angle AOC$, если $\angle BAO = 150^\circ$, $\angle OCD = 20^\circ$.

Рис. 182

Для решения задачи проведем через точку $O$ прямую $OK$, параллельную прямым $AB$ и $CD$. Так как по условию $AB \parallel CD$, то $OK \parallel AB$ и $OK \parallel CD$.

Прямая $OK$ делит угол $\angle AOC$ на два угла: $\angle AOK$ и $\angle KOC$. Таким образом, $\angle AOC = \angle AOK + \angle KOC$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $OK$ и секущую $AO$. Углы $\angle BAO$ и $\angle AOK$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BAO + \angle AOK = 180^{\circ}$.
Подставим известное значение $\angle BAO = 150^{\circ}$:
$150^{\circ} + \angle AOK = 180^{\circ}$
$\angle AOK = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

2. Рассмотрим параллельные прямые $OK$ и $CD$ и секущую $CO$. Углы $\angle KOC$ и $\angle OCD$ являются внутренними накрест лежащими углами. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны.
Следовательно, $\angle KOC = \angle OCD$.
Так как $\angle OCD = 20^{\circ}$, то $\angle KOC = 20^{\circ}$.

3. Теперь найдем искомый угол $\angle AOC$, сложив величины углов $\angle AOK$ и $\angle KOC$:
$\angle AOC = \angle AOK + \angle KOC = 30^{\circ} + 20^{\circ} = 50^{\circ}$.

Ответ: $50^{\circ}$.