Номер 107, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Найдите на рисунке 184 неизвестные углы равнобедренного треугольника $DEF (DF=FE)$.

Рис. 184

$DF=FE$, $42^\circ$.

$DE=EF$, $117^\circ$.

107. Найдите на рисунке 184 неизвестные углы равнобедренного треугольника DEF ($DF = FE$).

Рис. 184

а

$42^\circ$

б

$117^\circ$

а

По условию задачи, треугольник $DEF$ является равнобедренным, поскольку стороны $DF$ и $FE$ равны ($DF = FE$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона $DE$, следовательно, углы при основании $\angle D$ и $\angle E$ равны: $\angle D = \angle E$.

На рисунке угол при вершине $F$, то есть $\angle DFE$, и угол величиной $42^{\circ}$ являются вертикальными. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Таким образом, $\angle DFE = 42^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Для треугольника $DEF$ это можно записать как: $\angle D + \angle E + \angle F = 180^{\circ}$

Поскольку $\angle D = \angle E$, мы можем заменить $\angle E$ на $\angle D$ в уравнении: $\angle D + \angle D + \angle F = 180^{\circ}$ $2 \cdot \angle D + \angle F = 180^{\circ}$

Теперь подставим известное значение угла $\angle F = 42^{\circ}$: $2 \cdot \angle D + 42^{\circ} = 180^{\circ}$

Найдем величину угла $\angle D$: $2 \cdot \angle D = 180^{\circ} - 42^{\circ}$ $2 \cdot \angle D = 138^{\circ}$ $\angle D = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ}$

Так как $\angle E = \angle D$, то $\angle E = 69^{\circ}$.

Ответ: $\angle D = 69^{\circ}$, $\angle E = 69^{\circ}$, $\angle F = 42^{\circ}$.

б

В данном случае треугольник $DEF$ также является равнобедренным с основанием $DE$, так как $DF = FE$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle D = \angle E$.

На рисунке показан внешний угол при вершине $D$, равный $117^{\circ}$. Внутренний угол треугольника $\angle D$ и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^{\circ}$, так как они образуют развернутый угол. $\angle D + 117^{\circ} = 180^{\circ}$

Из этого соотношения находим величину угла $\angle D$: $\angle D = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$

Поскольку треугольник равнобедренный, $\angle E = \angle D = 63^{\circ}$.

Зная два угла треугольника, мы можем найти третий, используя теорему о сумме углов треугольника: $\angle D + \angle E + \angle F = 180^{\circ}$

Подставим известные значения: $63^{\circ} + 63^{\circ} + \angle F = 180^{\circ}$ $126^{\circ} + \angle F = 180^{\circ}$

Найдем угол $\angle F$: $\angle F = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$

Ответ: $\angle D = 63^{\circ}$, $\angle E = 63^{\circ}$, $\angle F = 54^{\circ}$.