Номер 100, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 180 прямые $DE$ и $FK$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны.

Рис. 180

100. На рисунке 180 прямые $DE$ и $FK$ параллельны. Докажите, что биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны.

Дано:
Прямые $DE$ и $FK$ параллельны ($DE \parallel FK$).
Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является секущей для прямых $DE$ и $FK$ соответственно.
$AC$ — биссектриса угла $PAE$.
$BG$ — биссектриса угла $FBM$.

Доказать:
Биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны, то есть $AC \parallel BG$.

Доказательство:
1. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $FK$ и секущую, проходящую через точки $A$ и $B$. Углы $PAE$ и $FBM$, упомянутые в условии, являются внешними накрест лежащими углами (alternate exterior angles). Так как прямые $DE$ и $FK$ параллельны, то внешние накрест лежащие углы равны: $$ \angle PAE = \angle FBM $$

2. По условию, $AC$ является биссектрисой угла $PAE$. По определению биссектрисы: $$ \angle PAC = \frac{1}{2} \angle PAE $$

3. По условию, $BG$ является биссектрисой угла $FBM$. По определению биссектрисы: $$ \angle FBG = \frac{1}{2} \angle FBM $$

4. Для того чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BG$ параллельны, докажем равенство соответственных углов, образованных этими прямыми и секущей $AB$. Соответственным углом для угла $PAC$ является угол $ABG$.

5. Рассмотрим угол $ABK$. Он является вертикальным к углу $FBM$. По свойству вертикальных углов: $$ \angle ABK = \angle FBM $$

6. Так как $BG$ является биссектрисой угла $FBM$, она также является биссектрисой вертикального ему угла $ABK$. Следовательно, луч $BG$ делит угол $ABK$ на два равных угла, и: $$ \angle ABG = \frac{1}{2} \angle ABK $$

7. Используя равенства, полученные в шагах 1, 2, 5 и 6, мы можем сопоставить углы $PAC$ и $ABG$: $$ \angle PAC = \frac{1}{2} \angle PAE $$ $$ \angle ABG = \frac{1}{2} \angle ABK = \frac{1}{2} \angle FBM $$ Поскольку $ \angle PAE = \angle FBM $, то и их половины равны: $$ \angle PAC = \angle ABG $$

8. Углы $PAC$ и $ABG$ являются соответственными углами при прямых $AC$ и $BG$ и секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BG$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектрисы углов $PAE$ и $FBM$ параллельны.