Номер 115, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. Сколько решений имеет задача?

115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них в 4 раза меньше другого. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике два угла равны (углы при основании). Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$. Условие, что один угол в 4 раза меньше другого, может быть истолковано двумя способами, поэтому задача имеет два решения.

Случай 1: Угол при основании в 4 раза меньше угла при вершине.

Пусть угол при основании равен $x$. Так как треугольник равнобедренный, второй угол при основании также равен $x$. Тогда угол при вершине, который в 4 раза больше, равен $4x$.

Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$x + x + 4x = 180^\circ$

$6x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{6}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, углы при основании равны $30^\circ$, а угол при вершине равен $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

Проверка: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$.

Случай 2: Угол при вершине в 4 раза меньше угла при основании.

Пусть угол при вершине равен $x$. Тогда каждый из углов при основании, который в 4 раза больше, равен $4x$.

Составим уравнение:

$x + 4x + 4x = 180^\circ$

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Таким образом, угол при вершине равен $20^\circ$, а каждый из углов при основании равен $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.

Проверка: $20^\circ + 80^\circ + 80^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $20^\circ$, $80^\circ$, $80^\circ$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.