Номер 118, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. В треугольнике $DME$ проведены высота $DH$ и биссектриса $DK$. Найдите угол $HDK$, если $\angle DME = 63^\circ$, $\angle DEM = 19^\circ$.

118. В треугольнике DME проведены высота DH и биссектриса DK. Найдите угол HDK, если $ \angle DME = 63^{\circ} $, $ \angle DEM = 19^{\circ} $.

Сначала найдем третий угол треугольника $DME$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
$\angle EDM = 180^\circ - (\angle DEM + \angle DME)$
Подставив известные значения, получим:
$\angle EDM = 180^\circ - (19^\circ + 63^\circ) = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

По условию, отрезок $DK$ является биссектрисой угла $EDM$. Это означает, что он делит угол $EDM$ на два равных угла. Найдем величину угла $MDK$:
$\angle MDK = \frac{\angle EDM}{2} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $DHM$. Отрезок $DH$ — это высота, опущенная на сторону $ME$, следовательно, угол $\angle DHM$ прямой и равен $90^\circ$. Треугольник $DHM$ является прямоугольным. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем угол $HDM$:
$\angle HDM = 90^\circ - \angle DMH = 90^\circ - \angle DME = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$.

Искомый угол $HDK$ — это угол между высотой $DH$ и биссектрисой $DK$. Мы можем найти его как разность углов $MDK$ и $HDM$, поскольку оба луча $DK$ и $DH$ находятся внутри угла $EDM$ и исходят из одной вершины $D$:
$\angle HDK = \angle MDK - \angle HDM$
$\angle HDK = 49^\circ - 27^\circ = 22^\circ$.

Ответ: $22^\circ$.