Номер 120, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADC = 64^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $AD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADC = 64^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $ADC$ нам известны два угла: $\angle ACD = \angle C = 90^\circ$ (так как треугольник $ABC$ прямоугольный) и $\angle ADC = 64^\circ$ (по условию). Найдем третий угол, $\angle CAD$:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle CAD + 90^\circ + 64^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD + 154^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ$

По условию, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Это означает, что он делит угол $\angle BAC$ на два равных угла. Следовательно, величина угла $\angle BAC$ в два раза больше величины угла $\angle CAD$.

$\angle BAC = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 26^\circ = 52^\circ$

Теперь, зная два угла в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 52^\circ$), мы можем найти третий угол, $\angle B$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

$52^\circ + \angle B = 90^\circ$

$\angle B = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника $ABC$ – это $\angle A = 52^\circ$ и $\angle B = 38^\circ$.

Ответ: $52^\circ$ и $38^\circ$.