Номер 119, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $20^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $120^\circ$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $20^\circ$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $\angle B = 120^\circ$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ (где $H$ лежит на прямой $AC$) и биссектриса $BD$ (где $D$ лежит на стороне $AC$). По условию, угол между высотой и биссектрисой равен $20^\circ$, то есть $\angle HBD = 20^\circ$.

Биссектриса $BD$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными ($\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$).

Сумма двух неизвестных углов треугольника $ABC$ равна:

$\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая расположения высоты $BH$ относительно биссектрисы $BD$.

Случай 1: Высота $BH$ находится между стороной $AB$ и биссектрисой $BD$.

В этом случае угол $\angle ABH$ можно найти как разность углов $\angle ABD$ и $\angle HBD$:

$\angle ABH = \angle ABD - \angle HBD = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle A$:

$\angle A = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Зная, что $\angle A + \angle C = 60^\circ$, найдем угол $\angle C$:

$\angle C = 60^\circ - \angle A = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ$.

Случай 2: Высота $BH$ находится между биссектрисой $BD$ и стороной $BC$.

В этом случае угол $\angle CBH$ можно найти как разность углов $\angle DBC$ и $\angle HBD$:

$\angle CBH = \angle DBC - \angle HBD = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно, мы можем найти угол $\angle C$:

$\angle C = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Зная, что $\angle A + \angle C = 60^\circ$, найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 60^\circ - \angle C = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что два неизвестных угла треугольника равны $10^\circ$ и $50^\circ$.

Ответ: $10^\circ$, $50^\circ$.