Номер 155, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. На рисунке 193 хорда $ MK $ пересекает диаметр $ AB $ в точке $ F $, $ \angle MPF = \angle KTF = 90^\circ $, $ \angle MFP = 30^\circ $, $ MK = 22 $ см. Найдите сумму длин отрезков $ MP $ и $ KT $.

Рис. 193

155. На рисунке 193 хорда $MK$ пересекает диаметр $AB$ в точке $F$, $\angle MPF = \angle KTF = 90^\circ$, $\angle MFP = 30^\circ$, $MK = 22$ см. Найдите сумму длин отрезков $MP$ и $KT$.

Рис. 193

Решение:

Рассмотрим треугольники ΔMPF и ΔKTF. Согласно условию задачи, $ \angle MPF = 90^\circ $ и $ \angle KTF = 90^\circ $, следовательно, оба этих треугольника являются прямоугольными.

В прямоугольном треугольнике ΔMPF катет MP лежит напротив угла $ \angle MFP $. По условию $ \angle MFP = 30^\circ $. Используя определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, получаем:
$ \sin(\angle MFP) = \frac{MP}{MF} $
Отсюда выразим длину катета MP:
$ MP = MF \cdot \sin(\angle MFP) = MF \cdot \sin(30^\circ) $
Так как значение синуса 30 градусов равно $ \frac{1}{2} $, то:
$ MP = \frac{1}{2} MF $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKTF. Углы $ \angle KFT $ и $ \angle MFP $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении хорды MK и диаметра AB. Вертикальные углы равны, поэтому:
$ \angle KFT = \angle MFP = 30^\circ $
В прямоугольном треугольнике ΔKTF катет KT лежит напротив угла $ \angle KFT $. Аналогично предыдущему случаю:
$ \sin(\angle KFT) = \frac{KT}{KF} $
Выразим длину катета KT:
$ KT = KF \cdot \sin(\angle KFT) = KF \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} KF $

Для того чтобы найти сумму длин отрезков MP и KT, сложим полученные выражения:
$ MP + KT = \frac{1}{2} MF + \frac{1}{2} KF $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ MP + KT = \frac{1}{2} (MF + KF) $
Поскольку точка F лежит на хорде MK, сумма длин отрезков MF и KF равна длине всей хорды MK:
$ MF + KF = MK $
По условию задачи длина хорды $ MK = 22 $ см. Подставим это значение в наше равенство:
$ MP + KT = \frac{1}{2} \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11 $ см.

Ответ: 11 см.