Номер 161, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 2 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 2 см.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми равно $d = 1.5$ см. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых сумма расстояний до этих прямых равна 2 см. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $l_1$ как $d_1$, а до прямой $l_2$ как $d_2$. По условию задачи, $d_1 + d_2 = 2$ см.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$ относительно полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$.

1. Точка M находится между прямыми $l_1$ и $l_2$.

Если точка $M$ расположена в полосе между данными параллельными прямыми, то сумма расстояний от нее до этих прямых всегда равна расстоянию между самими прямыми. То есть, $d_1 + d_2 = d = 1.5$ см. Однако, по условию задачи требуется, чтобы эта сумма была равна 2 см. Так как $1.5 \text{ см} \neq 2 \text{ см}$, в области между прямыми искомых точек нет.

2. Точка M находится вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$.

Это означает, что точка $M$ лежит по одну сторону от обеих прямых. Пусть, для определенности, точка $M$ находится со стороны прямой $l_1$ (то есть $l_1$ лежит между $M$ и $l_2$).

Пусть расстояние от точки $M$ до ближайшей к ней прямой $l_1$ равно $h$. Тогда $d_1 = h$.

Расстояние от точки $M$ до второй прямой $l_2$ будет равно сумме расстояния от $M$ до $l_1$ и расстояния между прямыми $l_1$ и $l_2$. Таким образом, $d_2 = h + d = h + 1.5$.

Сумма расстояний от точки $M$ до обеих прямых равна:

$d_1 + d_2 = h + (h + 1.5) = 2h + 1.5$

Согласно условию задачи, эта сумма должна быть равна 2 см:

$2h + 1.5 = 2$

$2h = 2 - 1.5$

$2h = 0.5$

$h = 0.25$ см.

Это означает, что все точки, расположенные на расстоянии 0.25 см от прямой $l_1$ с внешней стороны полосы, удовлетворяют условию. Множество таких точек образует прямую, параллельную $l_1$.

Аналогично, если точка $M$ находится со стороны прямой $l_2$ (то есть $l_2$ лежит между $M$ и $l_1$), то, проводя такие же рассуждения, мы найдем, что расстояние от $M$ до $l_2$ также должно быть равно $h = 0.25$ см. Это множество точек также образует прямую, параллельную $l_2$.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух прямых, параллельных данным. Каждая из этих прямых расположена с внешней стороны от полосы, образованной данными прямыми, на расстоянии 0.25 см от ближайшей из них.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные данным, расположенные вне полосы между ними на расстоянии 0,25 см от каждой из данных прямых.