Номер 165, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. На рисунке 195 две окружности имеют общий центр $O$.

К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $DN$, если $DE = 10$ см, а радиус меньшей окружности равен 3 см.

Рис. 195

165. На рисунке 195 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $DN$, если $DE = 10$ см, а радиус меньшей окружности равен 3 см.

Для решения задачи проведем радиусы меньшей окружности в точки касания. Пусть M — точка касания прямой DE, а L — точка касания прямой KP. Соединим центр окружности O с точками M и L.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp DE$ и $OL \perp KP$. Это означает, что углы $\angle OMN$ и $\angle OLN$ равны $90^\circ$.

2. По условию задачи, касательные DE и KP перпендикулярны друг другу, значит, угол $\angle MNL$ в точке их пересечения N также равен $90^\circ$.

3. Рассмотрим четырехугольник OMNL. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Три его угла ($\angle OMN$, $\angle OLN$, $\angle MNL$) являются прямыми, следовательно, четвертый угол $\angle MOL$ также равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, OMNL — прямоугольник.

4. Стороны OM и OL этого прямоугольника являются радиусами меньшей окружности, поэтому $OM = OL = r = 3$ см. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Значит, OMNL — квадрат со стороной 3 см. Отсюда следует, что $NM = OM = 3$ см.

5. Прямая DE является хордой большей окружности. Отрезок OM, перпендикулярный прямой DE, является расстоянием от центра O до этой хорды. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Следовательно, точка M является серединой хорды DE.

6. Длина хорды DE по условию равна 10 см. Так как M — ее середина, то $DM = ME = \frac{DE}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

7. Точки D, N и M лежат на одной прямой. Отрезок DM состоит из двух отрезков: DN и NM. Таким образом, $DM = DN + NM$.

8. Подставим известные нам значения в это равенство: $5 \text{ см} = DN + 3 \text{ см}$.

9. Выразим из этого уравнения искомую длину DN: $DN = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.