Номер 167, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 197 прямые $MB$, $MC$ и $DE$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $F$ соответственно. Найдите $MC$, если периметр треугольника $MDE$ равен 24 см.

Рис. 197

167. На рисунке 197 прямые $MB$, $MC$ и $DE$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $F$ соответственно. Найдите $MC$, если периметр треугольника $MDE$ равен 24 см.

Рис. 197

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, длины таких отрезков равны.

В данной задаче у нас есть три точки, из которых проведены касательные к окружности: M, D и E.

1. Касательные, проведенные из точки M, — это MB и MC. Следовательно, их длины равны:
   $MB = MC$
2. Касательные, проведенные из точки D, — это DB и DF. Следовательно, их длины равны:
   $DB = DF$
3. Касательные, проведенные из точки E, — это EC и EF. Следовательно, их длины равны:
   $EC = EF$

Периметр треугольника MDE ($P_{MDE}$) — это сумма длин его сторон:

$P_{MDE} = MD + DE + ME$

Сторона DE состоит из двух отрезков: DF и FE. То есть, $DE = DF + FE$.

Подставим это выражение в формулу периметра:

$P_{MDE} = MD + (DF + FE) + ME$

Теперь заменим отрезки DF и FE на равные им отрезки DB и EC соответственно:

$P_{MDE} = MD + (DB + EC) + ME$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$P_{MDE} = (MD + DB) + (ME + EC)$

Из рисунка видно, что сумма длин отрезков MD и DB равна длине отрезка MB, а сумма длин отрезков ME и EC равна длине отрезка MC:

$MD + DB = MB$

$ME + EC = MC$

Подставим эти значения в формулу периметра:

$P_{MDE} = MB + MC$

Так как мы ранее установили, что $MB = MC$, то можно записать:

$P_{MDE} = MC + MC = 2 \cdot MC$

По условию задачи периметр треугольника MDE равен 24 см:

$2 \cdot MC = 24$ см

Отсюда находим длину MC:

$MC = \frac{24}{2} = 12$ см

Ответ: 12 см.