Номер 163, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $M$. На касательной по разные стороны от точки $M$ отметили точки $K$ и $P$ такие, что $ \angle MOK = \angle MOP $. Найдите угол $OKM$, если $ \angle OPM = 48^\circ $.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $M$. На касательной по разные стороны от точки $M$ отметили точки $K$ и $P$ такие, что $\angle MOK = \angle MOP$. Найдите угол $OKM$, если $\angle OPM = 48^\circ$.

Рассмотрим треугольники $ΔOMK$ и $ΔOMP$.

1. По условию, прямая касается окружности с центром в точке $O$ в точке $M$. $OM$ является радиусом, проведенным в точку касания. Согласно свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, $OM ⊥ KP$, из чего следует, что $∠OMK = ∠OMP = 90°$. Таким образом, оба треугольника $ΔOMK$ и $ΔOMP$ являются прямоугольными.

2. Сравним эти два треугольника:

• Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $∠OMK = ∠OMP = 90°$ (как доказано выше).
• Угол $∠MOK = ∠MOP$ (согласно условию задачи).

Таким образом, треугольник $ΔOMK$ равен треугольнику $ΔOMP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам - ASA). В данном случае сторона — это катет $OM$, а прилежащие углы — $∠MOK$ и $∠OMK$.

3. Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы также равны. Угол $∠OKM$ в треугольнике $ΔOMK$ соответствует углу $∠OPM$ в треугольнике $ΔOMP$ (они лежат напротив равных сторон $OM$ и являются третьими углами в равных треугольниках). Следовательно, $∠OKM = ∠OPM$.

4. По условию задачи дано, что $∠OPM = 48°$.

Из этого следует, что $∠OKM = 48°$.

Другой способ решения (через сумму углов в треугольнике):

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMP$ ($∠OMP = 90°$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Таким образом, $∠MOP + ∠OPM = 90°$.

2. Зная, что $∠OPM = 48°$, найдем угол $∠MOP$:
$∠MOP = 90° - ∠OPM = 90° - 48° = 42°$.

3. По условию $∠MOK = ∠MOP$, следовательно, $∠MOK = 42°$.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMK$ ($∠OMK = 90°$). Сумма его острых углов также равна $90°$: $∠MOK + ∠OKM = 90°$.

5. Найдем искомый угол $∠OKM$:
$∠OKM = 90° - ∠MOK = 90° - 42° = 48°$.

Ответ: 48°