Номер 159, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся-ся на расстоянии 3 см от прямой $a$ и 5 см от прямой $b$.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихсяся на расстоянии 3 см от прямой $a$ и 5 см от прямой $b$.

Геометрическое место точек (ГМТ), о котором идет речь в задаче, — это множество всех точек, удовлетворяющих двум условиям одновременно: расстояние от точки до прямой $a$ равно 3 см, и расстояние от той же точки до прямой $b$ равно 5 см.

Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. ГМТ, находящихся на расстоянии 3 см от прямой $a$. Это множество состоит из двух прямых, назовем их $a_1$ и $a_2$, которые параллельны прямой $a$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии 3 см.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии 5 см от прямой $b$. Аналогично, это множество состоит из двух прямых, назовем их $b_1$ и $b_2$, которые параллельны прямой $b$ и расположены по разные стороны от нее на расстоянии 5 см.

Искомые точки являются точками пересечения этих двух пар прямых. Поскольку исходные прямые $a$ и $b$ пересекаются, они не параллельны. Следовательно, любая прямая, параллельная $a$ (т.е. $a_1$ или $a_2$), будет пересекать любую прямую, параллельную $b$ (т.е. $b_1$ или $b_2$).

Таким образом, каждая прямая из первой пары ($a_1, a_2$) пересечет каждую прямую из второй пары ($b_1, b_2$), что даст нам четыре уникальные точки пересечения:

• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_1$ и $b_2$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_1$.
• Точка пересечения прямых $a_2$ и $b_2$.

Эти четыре точки и составляют искомое ГМТ. Они расположены симметрично относительно точки пересечения прямых $a$ и $b$ и являются вершинами параллелограмма.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из четырех точек.