Номер 156, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Дан отрезок $EF$ длиной 4 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $EF$.

156. Дан отрезок $EF$ длиной 4 см. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой $EF$.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) необходимо определить множество точек, удовлетворяющих двум заданным условиям одновременно. Проанализируем каждое условие по отдельности.

1. ГМТ, равноудалённых от точек E и F

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка (в данном случае от точек E и F), представляет собой серединный перпендикуляр к этому отрезку. Обозначим эту прямую как $m$. Прямая $m$ проходит через середину M отрезка EF и перпендикулярна ему.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии 2 см от прямой EF

Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии $d$ от некоторой прямой, состоит из двух прямых, параллельных данной прямой и расположенных по обе стороны от неё на расстоянии $d$. В нашем случае расстояние равно 2 см, следовательно, это ГМТ состоит из двух прямых, $p_1$ и $p_2$, параллельных прямой EF и удалённых от неё на 2 см.

Поиск искомого ГМТ

Искомые точки должны удовлетворять обоим условиям, то есть они должны лежать на пересечении найденных геометрических мест. Нам нужно найти точки пересечения серединного перпендикуляра $m$ с парой параллельных прямых $p_1$ и $p_2$.

Пусть M — середина отрезка EF. По условию, длина $EF = 4$ см, значит, $EM = MF = \frac{1}{2} EF = \frac{4}{2} = 2$ см. Серединный перпендикуляр $m$ проходит через точку M.

Точки, которые мы ищем, лежат на прямой $m$. Расстояние от любой точки на прямой $m$ до прямой EF равно длине отрезка, соединяющего эту точку с точкой M (поскольку $m \perp EF$). По второму условию, это расстояние должно быть равно 2 см.

Следовательно, на прямой $m$ существуют две такие точки. Обозначим их $P_1$ и $P_2$. Они расположены по разные стороны от прямой EF, и расстояние от каждой из них до точки M равно 2 см. То есть, $P_1M = 2$ см и $P_2M = 2$ см.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух точек, $P_1$ и $P_2$.

Для проверки: рассмотрим, например, точку $P_1$. Она лежит на серединном перпендикуляре $m$, поэтому она равноудалена от E и F. Расстояние от $P_1$ до прямой EF равно $P_1M = 2$ см. Оба условия выполнены. Аналогично для точки $P_2$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку EF на расстоянии 2 см от прямой EF.