Номер 157, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон острого угла отмечены точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $E$ и $F$ и находящихся на расстоянии 2 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Искомое геометрическое место точек (ГМТ) должно удовлетворять одновременно двум условиям. Для того чтобы найти это ГМТ, необходимо найти пересечение ГМТ, удовлетворяющих каждому из условий в отдельности.

1. ГМТ, равноудалённых от точек E и F.
Множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных точек (в нашем случае E и F), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (отрезок EF). Обозначим эту прямую как $m$. Поскольку точки E и F лежат на одной из сторон угла, то прямая $m$ перпендикулярна этой стороне.

2. ГМТ, находящихся на расстоянии 2 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.
Множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (в нашем случае 2 см) от заданной прямой, представляет собой пару прямых, параллельных данной прямой и расположенных на этом расстоянии от нее по разные стороны. Обозначим эти прямые как $p_1$ и $p_2$.

Искомые точки должны принадлежать как прямой $m$, так и одной из прямых $p_1$ или $p_2$. Таким образом, искомое ГМТ — это точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

Определим количество таких точек пересечения. Пусть стороны острого угла лежат на прямых $l_1$ (на которой находятся точки E и F) и $l_2$.

• Прямая $m$ перпендикулярна прямой $l_1$ ($m \perp l_1$).
• Прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны прямой $l_2$ ($p_1 \parallel l_2$ и $p_2 \parallel l_2$).

По условию, угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ является острым, то есть он не равен $90^\circ$. Это означает, что прямые $l_1$ и $l_2$ не перпендикулярны.

Если бы прямые $l_1$ и $l_2$ были перпендикулярны, то прямая $m$ (перпендикулярная $l_1$) была бы параллельна прямой $l_2$ и, следовательно, параллельна прямым $p_1$ и $p_2$. В этом случае прямая $m$ либо не пересекала бы прямые $p_1$ и $p_2$, либо совпадала бы с одной из них.

Но так как угол острый, прямые $l_1$ и $l_2$ не перпендикулярны. Следовательно, прямая $m$ не параллельна прямой $l_2$ и не параллельна прямым $p_1$ и $p_2$. Две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной и только одной точке. Таким образом, прямая $m$ пересекает прямую $p_1$ в одной точке и прямую $p_2$ также в одной точке.

В результате мы получаем две точки, удовлетворяющие обоим условиям задачи.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из двух точек, которые являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку EF с двумя прямыми, параллельными второй стороне угла и удаленными от нее на расстояние 2 см.