Номер 164, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. На рисунке 194 прямая $KE$ касается окружности с центром $O$ в точке $E$. Найдите $\angle COE$, если $\angle KEP = 136^\circ$.

Рис. 194

164. На рисунке 194 прямая KE касается окружности с центром O в точке E. Найдите $\angle COE$, если $\angle KEP = 136^\circ$.

Рис. 194

Решение:

1. Углы $∠KEP$ и $∠KEC$ являются смежными, так как они лежат на одной прямой $CP$ и имеют общую сторону $KE$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Найдем величину угла $∠KEC$:
$∠KEC = 180^\circ - ∠KEP = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

2. Прямая $KE$ является касательной к окружности в точке $E$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OE$ перпендикулярен прямой $KE$, и угол между ними составляет $90^\circ$:$∠OEK = 90^\circ$.

3. Угол $∠OEK$ состоит из двух углов: $∠OEC$ и $∠KEC$. Из рисунка видно, что $∠OEK = ∠OEC + ∠KEC$. Отсюда мы можем найти угол $∠OEC$:
$∠OEC = ∠OEK - ∠KEC = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $COE$. Отрезки $OC$ и $OE$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому их длины равны: $OC = OE$. Это означает, что треугольник $COE$ — равнобедренный с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:
$∠OCE = ∠OEC = 46^\circ$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $COE$ справедливо равенство: $∠COE + ∠OCE + ∠OEC = 180^\circ$. Найдем искомый угол $∠COE$:
$∠COE = 180^\circ - (∠OCE + ∠OEC) = 180^\circ - (46^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.

Ответ: $88^\circ$.