Номер 168, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка пересечения медиан $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

168. Точка пересечения медиан $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$. По определению, точка пересечения медиан является центроидом треугольника.

По условию задачи, эта же точка $O$ является центром вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Следовательно, медианы $AN$ и $CM$ являются одновременно и биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно.

Рассмотрим медиану $AN$. Так как она является и биссектрисой угла $\angle A$, то для треугольника $ABC$ справедливо свойство биссектрисы:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{NC}$

Поскольку $AN$ — медиана, она делит сторону $BC$ пополам, то есть $BN = NC$. Следовательно, отношение $\frac{BN}{NC} = 1$.

Из этого следует, что $\frac{AB}{AC} = 1$, что равносильно равенству сторон $AB = AC$. Таким образом, $\triangle ABC$ — равнобедренный.

Теперь рассмотрим медиану $CM$. Так как она является и биссектрисой угла $\angle C$, то для треугольника $ABC$ также справедливо свойство биссектрисы:

$\frac{BC}{AC} = \frac{BM}{AM}$

Поскольку $CM$ — медиана, она делит сторону $AB$ пополам, то есть $BM = AM$. Следовательно, отношение $\frac{BM}{AM} = 1$.

Из этого следует, что $\frac{BC}{AC} = 1$, что равносильно равенству сторон $BC = AC$.

Объединяя полученные результаты $AB = AC$ и $BC = AC$, мы получаем, что все три стороны треугольника равны между собой:

$AB = BC = AC$

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является равносторонним.