Номер 173, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$, если периметр треугольника $BPK$ равен 8 см и $AC = 12$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$, если периметр треугольника $BPK$ равен 8 см и $AC = 12$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$ и основание $AC = 12$ см. В этот треугольник вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $M$, $N$ и $L$ соответственно.

К вписанной окружности проведена касательная $PK$, где точка $P$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $BC$. Пусть $T$ — точка касания прямой $PK$ с окружностью.

Рассмотрим периметр треугольника $BPK$. Он равен сумме длин его сторон:$P_{BPK} = BP + BK + PK$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применим это свойство для точек $P$ и $K$:

• Для точки $P$: $PM = PT$.
• Для точки $K$: $KN = KT$.

Длину отрезка $PK$ можно представить как сумму длин отрезков $PT$ и $TK$:$PK = PT + TK$.

Подставим это выражение в формулу периметра треугольника $BPK$ и используем равенства для касательных:$P_{BPK} = BP + BK + (PT + TK) = BP + BK + PM + KN$.

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:$P_{BPK} = (BP + PM) + (BK + KN)$.Поскольку точки $P$ и $M$ лежат на стороне $AB$, а $K$ и $N$ — на $BC$, то суммы в скобках представляют собой длины отрезков $BM$ и $BN$:$BP + PM = BM$$BK + KN = BN$Следовательно, $P_{BPK} = BM + BN$.

Отрезки $BM$ и $BN$ также являются касательными к вписанной окружности, проведенными из одной точки $B$. Значит, их длины равны: $BM = BN$.Тогда периметр треугольника $BPK$ можно выразить как $P_{BPK} = BM + BM = 2 \cdot BM$.

Из условия задачи известно, что $P_{BPK} = 8$ см. Отсюда находим длину отрезка $BM$:$2 \cdot BM = 8 \text{ см}$$BM = 4 \text{ см}$.

Теперь найдем длину отрезка $AM$. Отрезки $AM$ и $AL$ являются касательными, проведенными из вершины $A$, следовательно, $AM = AL$.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, а центр вписанной окружности лежит на этой высоте. Точка касания $L$ вписанной окружности с основанием $AC$ является его серединой.$AL = \frac{AC}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.Отсюда следует, что $AM = 6$ см.

Боковая сторона $AB$ состоит из отрезков $AM$ и $MB$. Найдем ее длину:$AB = AM + MB = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.