Номер 179, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины гипотенузы к одному из катетов.

179. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины гипотенузы к одному из катетов.

Задача состоит в построении равнобедренного прямоугольного треугольника по известному отрезку, который является перпендикуляром, опущенным из середины гипотенузы на один из катетов.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. По условию, он является равнобедренным и прямоугольным. Пусть $\angle C = 90^\circ$, тогда катеты равны: $AC = BC$. Углы при основании (гипотенузе) равны $45^\circ$: $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$, а $MN$ — перпендикуляр, проведённый из точки $M$ к катету $AC$ (точка $N$ лежит на $AC$). Таким образом, нам дан отрезок $MN$, и известно, что $MN \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $BC \perp AC$ (поскольку $\angle C = 90^\circ$) и $MN \perp AC$ (по условию), то прямые $MN$ и $BC$ параллельны ($MN \parallel BC$).

По теореме о средней линии треугольника, так как прямая $MN$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллельна стороне $BC$, она пересекает сторону $AC$ в её середине. Следовательно, точка $N$ является серединой катета $AC$.

Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины параллельной ей стороны: $MN = \frac{1}{2}BC$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $AC = BC$. Значит, $MN = \frac{1}{2}AC$. А поскольку $N$ — середина $AC$, то $AN = NC = \frac{1}{2}AC$.

Из этого следует ключевое соотношение для построения: $MN = AN = NC$.

Таким образом, длина данного отрезка $MN$ равна половине длины каждого из катетов. Это позволяет нам построить катеты, а затем и весь треугольник.

Построение

Пусть дан отрезок $d$, равный длине перпендикуляра из середины гипотенузы к катету.

1. Начертим произвольную прямую $a$ и выберем на ней точку $N$.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую $b$, проходящую через точку $N$ и перпендикулярную прямой $a$.
3. На прямой $a$ отложим от точки $N$ в обе стороны отрезки $NA$ и $NC$, равные данному отрезку $d$. Получим отрезок $AC$ длиной $2d$, который будет одним из катетов искомого треугольника.
4. Через точку $C$ построим прямую $c$, перпендикулярную прямой $AC$.
5. На прямой $c$ отложим отрезок $CB$, равный отрезку $AC$ (то есть равный $2d$).
6. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

По построению, $\angle C = 90^\circ$ (так как $AC \perp BC$) и $AC = CB = 2d$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

По построению, точка $N$ является серединой катета $AC$.

Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Проведём через $M$ перпендикуляр к катету $AC$. Основание этого перпендикуляра по определению средней линии будет совпадать с серединой катета $AC$, то есть с построенной нами точкой $N$.

Длина отрезка $MN$, являющегося средней линией, равна половине стороны $BC$: $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(2d) = d$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи: он является равнобедренным прямоугольным, и перпендикуляр, проведённый из середины его гипотенузы к катету $AC$, равен данному отрезку $d$.

Исследование

Задача имеет решение при любой длине заданного отрезка $d > 0$. Построение, описанное выше, всегда выполнимо и приводит к единственному (с точностью до расположения на плоскости) треугольнику, удовлетворяющему условиям.

Ответ: Построение треугольника основано на установлении того факта, что длина данного перпендикуляра равна половине длины каждого из катетов. Детальный алгоритм построения приведён выше.