Номер 181, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

181. Постройте треугольник $ABC$ по медиане $CM$, углу $BCM$ и углу $BMC$.

181. Постройте треугольник $ABC$ по медиане $CM$, углу $BCM$ и углу $BMC$.

Для построения искомого треугольника $ABC$ воспользуемся методом анализа, который позволит свести задачу к построению вспомогательного треугольника по известным элементам.

Анализ
Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$, то есть $AM = MB$, и точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике нам даны:

1. длина стороны $CM$;
2. угол $\angle BCM$;
3. угол $\angle BMC$.

Таким образом, мы знаем сторону треугольника $BCM$ и два прилежащих к ней угла. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) мы можем построить такой треугольник. После построения треугольника $BCM$ у нас будут определены вершины $B$, $C$ и точка $M$. Поскольку $M$ — середина $AB$, вершину $A$ можно найти, продлив отрезок $BM$ за точку $M$ на расстояние, равное $BM$. То есть, точка $A$ симметрична точке $B$ относительно точки $M$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, мы получим искомый треугольник $ABC$. Задача имеет решение, если сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\angle BCM + \angle BMC < 180^\circ$, так как это углы одного треугольника ($BCM$).

Построение
1. Построим отрезок $CM$, равный по длине данной медиане.
2. От луча $CM$ в выбранной полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\angle BCM$.
3. От луча $MC$ в той же полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\angle BMC$.
4. Лучи, построенные в шагах 2 и 3 (не лежащие на прямой $CM$), пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $B$. Таким образом, мы построили треугольник $BCM$.
5. Проведем прямую через точки $B$ и $M$.
6. На этой прямой отложим от точки $M$ в сторону, противоположную лучу $MB$, отрезок $MA$, равный отрезку $MB$. Для этого можно использовать циркуль, установив его раствор равным $MB$, и сделав засечку на прямой за точкой $M$.
7. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком.

Доказательство
Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, отрезок $CM$ равен данной медиане. Углы $\angle BCM$ и $\angle BMC$ равны данным углам. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, и, по построению, $AM = MB$, что означает, что $M$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, $CM$ является медианой треугольника $ABC$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым, так как удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по приведенному алгоритму. Построение однозначно (с точностью до конгруэнтности) при условии, что сумма данных углов меньше $180^\circ$.