Номер 184, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. Прямая $m$ пересекает стороны угла $MON$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2,5 см от прямой $m$. Сколько решений может иметь задача?

184. Прямая $m$ пересекает стороны угла $MON$. Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии $2,5$ см от прямой $m$. Сколько решений может иметь задача?

Для решения задачи необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек.

Постройте точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и находящуюся на расстоянии 2,5 см от прямой m.

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:
1. Точка равноудалена от сторон угла $MON$. Геометрическое место таких точек — биссектриса угла $MON$. Так как точка должна принадлежать углу, нас интересует луч, являющийся биссектрисой, с началом в вершине угла O. Обозначим этот луч $l$.
2. Точка находится на расстоянии 2,5 см от прямой $m$. Геометрическое место таких точек — две прямые, $m_1$ и $m_2$, параллельные прямой $m$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии 2,5 см.

Таким образом, искомые точки — это точки пересечения луча $l$ (биссектрисы угла) с прямыми $m_1$ и $m_2$.

Алгоритм построения:

1. Построить луч $l$ — биссектрису угла $MON$.
2. Выбрать на прямой $m$ произвольную точку A, провести через нее прямую $p$, перпендикулярную $m$.
3. На прямой $p$ отложить от точки A в обе стороны отрезки длиной 2,5 см. Получим точки B и C.
4. Через точки B и C провести прямые $m_1$ и $m_2$, параллельные прямой $m$.
5. Найти точки пересечения луча $l$ с прямыми $m_1$ и $m_2$. Эти точки и являются искомыми.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений зависит от числа точек пересечения луча $l$ с парой параллельных прямых $m_1$ и $m_2$. Так как по условию прямая $m$ пересекает стороны угла, она не может быть параллельна его биссектрисе $l$. Следовательно, луч $l$ не параллелен прямым $m_1$ и $m_2$.

Количество решений зависит от расстояния $d$ от вершины угла O до прямой $m$.

• Если расстояние $d$ меньше 2,5 см ($d < 2,5$ см), то вершина O находится между прямыми $m_1$ и $m_2$. Луч $l$, исходящий из O, пересечет только одну из этих прямых. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если расстояние $d$ равно 2,5 см ($d = 2,5$ см), то вершина O лежит на одной из прямых (например, $m_1$). Эта точка O является первым решением. Луч $l$, выходя из O, пересечет вторую прямую $m_2$ во второй точке. В этом случае задача имеет два решения.
• Если расстояние $d$ больше 2,5 см ($d > 2,5$ см), то вершина O и обе прямые $m_1$ и $m_2$ находятся по разные стороны от прямой $m$ или обе прямые находятся между O и $m$. Поскольку луч-биссектриса $l$ направлен в сторону прямой $m$ (которая пересекает стороны угла), он пересечет обе параллельные прямые $m_1$ и $m_2$. В этом случае задача также имеет два решения.

Ответ: Задача может иметь одно или два решения.