Номер 185, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Постройте прямоугольный треугольник по разности катетов и углу, противолежащему большему из них.

185. Постройте прямоугольный треугольник по разности катетов и углу, противолежащему большему из них.

Для построения искомого прямоугольного треугольника воспользуемся методом вспомогательного треугольника. Сначала проведем анализ задачи, чтобы определить свойства этого вспомогательного треугольника, затем выполним построение, докажем его правильность и проведем исследование.

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ построен. Пусть его катеты равны $AC = b$ и $BC = a$. По условию, нам дан угол $\alpha$, противолежащий большему катету. Пусть $a > b$, тогда $\angle BAC = \alpha$. Также нам дана разность катетов $d = a - b$.

Отложим на большем катете $BC$ от вершины $C$ отрезок $CD$, равный меньшему катету $AC$. Тогда $CD = AC = b$. Точка $D$ будет лежать между $B$ и $C$, так как $BC > CD$. Оставшаяся часть катета $BC$ будет равна $BD = BC - CD = a - b = d$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В нем $AC = CD = b$ и $\angle ACD = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ADC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его основании $AD$ равны $\angle CAD = \angle CDA = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. В нем нам известны следующие элементы:

• Сторона $BD$ равна данной разности катетов $d$.
• Угол $\angle BDA$ является смежным с углом $\angle CDA$, поэтому $\angle BDA = 180^\circ - \angle CDA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
• Угол $\angle ABD$ (он же $\angle B$ в исходном треугольнике $ABC$) равен $90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - \alpha$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle B = 90^\circ - \alpha$ и $\angle D = 135^\circ$. Построив этот треугольник, мы найдем вершину $A$. Вершина $C$ лежит на продолжении стороны $BD$ за точку $D$ и является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BD$.

Ответ: Построение искомого треугольника сводится к построению вспомогательного треугольника $ABD$ по стороне $BD=d$ и прилежащим к ней углам $\angle B = 90^\circ - \alpha$ и $\angle BDA = 135^\circ$.

Пусть нам даны отрезок $d$ и угол $\alpha$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $BD$, равный $d$.
2. В точке $B$ построим угол, равный $90^\circ - \alpha$. Для этого построим прямой угол с вершиной в $B$ и отложим от одной из его сторон угол $\alpha$ внутрь прямого угла. Сторона, оставшаяся от прямого угла, образует с другой стороной отрезка $BD$ искомый угол. Проведем из точки $B$ луч под этим углом.
3. В точке $D$ построим угол, равный $135^\circ$. Для этого в точке $D$ восстановим перпендикуляр к прямой $BD$, а затем построим биссектрису угла, смежного с прямым. Угол $135^\circ$ будет находиться в той же полуплоскости относительно прямой $BD$, что и луч, построенный в предыдущем шаге. Проведем из точки $D$ луч под этим углом.
4. Точку пересечения двух построенных лучей обозначим как $A$. Треугольник $ABD$ построен.
5. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую отрезок $BD$. Основание этого перпендикуляра обозначим как $C$.
6. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Искомый прямоугольный треугольник $ABC$ построен в соответствии с описанным алгоритмом.

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению (шаг 5), $AC \perp BC$, следовательно, $\angle C = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным.
2. По построению (шаг 2), $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\angle BAC = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
3. Рассмотрим $\triangle ADC$. Угол $\angle ACD = 90^\circ$ по построению. Угол $\angle ADC = 180^\circ - \angle BDA$. Так как $\angle BDA = 135^\circ$ по построению (шаг 3), то $\angle ADC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный с острым углом $45^\circ$, а значит, он равнобедренный: $AC = CD$.
4. Найдем разность катетов. Катетами являются $BC$ и $AC$. Из построения следует, что $BC = BD + DC$. Тогда разность катетов равна $BC - AC = (BD + DC) - AC$. Поскольку $DC = AC$, получаем $BC - AC = BD$. По построению (шаг 1), $BD = d$. Значит, разность катетов равна $d$.
5. Так как $d > 0$, то $BC - AC > 0$, откуда $BC > AC$. Следовательно, $BC$ — больший катет. Угол, противолежащий ему, — это $\angle BAC$, который, как мы доказали, равен $\alpha$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Доказано, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет решение, если вспомогательный треугольник $ABD$ существует. Для этого построенные на шагах 2 и 3 лучи должны пересекаться. Это произойдет, если сумма углов при стороне $BD$ в треугольнике $ABD$ меньше $180^\circ$.

Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$ равна $(90^\circ - \alpha) + 135^\circ = 225^\circ - \alpha$.

Третий угол треугольника $ABD$, $\angle BAD$, должен быть положительным. $\angle BAD = 180^\circ - (\angle B + \angle BDA) = 180^\circ - (225^\circ - \alpha) = \alpha - 45^\circ$.

Для существования треугольника необходимо, чтобы $\angle BAD > 0$, то есть $\alpha - 45^\circ > 0$, что означает $\alpha > 45^\circ$.

Также, поскольку $\alpha$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, должно выполняться условие $\alpha < 90^\circ$.

Условие $\alpha > 45^\circ$ следует из самой постановки задачи. В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $a$ к прилежащему $b$: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$. Поскольку $a$ — больший катет ($a > b$), то $\frac{a}{b} > 1$. Для острого угла $\alpha$ из $\tan \alpha > 1$ следует, что $\alpha > 45^\circ$.

Если $\alpha = 45^\circ$, то катеты равны, и их разность $d=0$. Если $\alpha < 45^\circ$, то катет $a$ был бы меньше катета $b$, что противоречит условию.

При выполнении условия $45^\circ < \alpha < 90^\circ$ построение всегда возможно и приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.

Ответ: Задача имеет единственное решение при условии, что данный угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $45^\circ < \alpha < 90^\circ$.