Номер 183, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Дан треугольник $ABC$. Постройте точку, равноудалённую от точек $B$ и $C$ и находящуюся на расстоянии 2,5 см от точки $A$. Сколько решений может иметь задача?

183. Дан треугольник $ABC$. Постройте точку, равноудалённую от точек $B$ и $C$ и находящуюся на расстоянии $2,5$ см от точки $A$. Сколько решений может иметь задача?

Постройте точку, равноудалённую от точек B и C и находящуюся на расстоянии 2,5 см от точки A

Искомая точка должна удовлетворять двум условиям. Для её нахождения используем метод геометрических мест точек (ГМТ).
1. Геометрическое место точек, равноудаленных от точек B и C, — это серединный перпендикуляр к отрезку BC. Обозначим его прямой m.
2. Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 2,5 см от точки A, — это окружность с центром в точке A и радиусом $R = 2,5$ см. Обозначим ее окружностью k.
Искомая точка (или точки) является точкой пересечения этих двух ГМТ: прямой m и окружности k.
Алгоритм построения:
1. С помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр m к отрезку BC. Для этого из точек B и C проводим дуги окружностей одинакового радиуса (большего половины длины BC) и через точки их пересечения проводим прямую.
2. С помощью циркуля и линейки строим окружность k с центром в точке A и радиусом, равным 2,5 см.
3. Точки пересечения прямой m и окружности k являются искомыми точками.
Ответ: Искомые точки — это точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку BC и окружности с центром в точке A и радиусом 2,5 см.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно числу точек пересечения прямой m (серединного перпендикуляра к BC) и окружности k (с центром в A и радиусом 2,5 см). Оно зависит от расстояния от центра окружности, точки A, до прямой m. Обозначим это расстояние как $d$.
Возможны три случая:
1. Если расстояние от точки A до прямой m меньше радиуса окружности, то есть $d < 2,5$ см, то прямая и окружность имеют две общие точки. Задача имеет два решения.
2. Если расстояние от точки A до прямой m равно радиусу окружности, то есть $d = 2,5$ см, то прямая касается окружности в одной точке. Задача имеет одно решение.
3. Если расстояние от точки A до прямой m больше радиуса окружности, то есть $d > 2,5$ см, то прямая и окружность не имеют общих точек. Задача не имеет решений.
Ответ: В зависимости от взаимного расположения точки A и отрезка BC задача может иметь два, одно или ни одного решения.