Номер 182, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Даны прямая $b$ и принадлежащая ей точка $A$. Постройте точку, удалённую от точки $A$ на 3 см и от прямой $b$ на 2 см. Сколько решений имеет задача?

182. Даны прямая $b$ и принадлежащая ей точка $A$. Постройте точку, удалённую от точки $A$ на 3 см и от прямой $b$ на 2 см. Сколько решений имеет задача?

Для решения задачи воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна удовлетворять одновременно двум условиям, следовательно, она является точкой пересечения двух соответствующих ГМТ.

Построение

Проанализируем условия задачи:

1. Точка удалена от точки А на 3 см. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки $A$ на расстояние 3 см, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R=3$ см.
2. Точка удалена от прямой b на 2 см. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой $b$ на расстояние 2 см, — это две прямые, $b_1$ и $b_2$, параллельные прямой $b$ и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии $d=2$ см.

Искомые точки являются точками пересечения окружности и двух параллельных прямых. Алгоритм построения следующий:

1. Начертить прямую $b$ и отметить на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R=3$ см.
3. В точке $A$ провести прямую $c$, перпендикулярную прямой $b$.
4. На прямой $c$ отложить от точки $A$ в обе стороны отрезки длиной 2 см. Обозначим концы этих отрезков $P_1$ и $P_2$.
5. Через точки $P_1$ и $P_2$ провести прямые $b_1$ и $b_2$ соответственно, параллельные прямой $b$.
6. Точки пересечения построенной окружности с прямыми $b_1$ и $b_2$ и будут искомыми точками.

Количество решений

Для определения количества решений проанализируем взаимное расположение построенных фигур. Центр окружности — точка $A$ — лежит на прямой $b$. Прямые $b_1$ и $b_2$ параллельны прямой $b$ и находятся на расстоянии 2 см от нее. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из прямых $b_1$ и $b_2$ равно 2 см.

Радиус окружности равен 3 см. Так как расстояние от центра окружности до каждой из прямых ($d=2$ см) меньше радиуса окружности ($R=3$ см), каждая из прямых $b_1$ и $b_2$ пересекает окружность в двух точках.

Это также можно показать аналитически с помощью теоремы Пифагора. Пусть $X$ — одна из искомых точек, а $H$ — ее проекция на прямую $b$. Тогда треугольник $\triangle AXH$ является прямоугольным, где гипотенуза $AX$ — расстояние от $X$ до $A$, а катет $XH$ — расстояние от $X$ до прямой $b$.

По условию, $AX = 3$ см и $XH = 2$ см. Найдем длину катета $AH$:

$AH^2 + XH^2 = AX^2$

$AH^2 + 2^2 = 3^2$

$AH^2 + 4 = 9$

$AH^2 = 5$

$AH = \sqrt{5}$ см.

Это означает, что проекция искомой точки на прямую $b$ должна находиться на расстоянии $\sqrt{5}$ см от точки $A$. На прямой $b$ есть две такие точки (справа и слева от $A$). Для каждой из этих двух проекций существуют две искомые точки, расположенные по разные стороны от прямой $b$ на расстоянии 2 см. Таким образом, общее количество решений равно $2 \times 2 = 4$.

Ответ: задача имеет 4 решения.