Номер 177, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу, который эта биссектриса образует с основанием.

177. Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе треугольника, проведённой из вершины угла при основании, и углу, который эта биссектриса образует с основанием.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник – это $\triangle ABC$ с основанием $BC$. Пусть $BD$ – биссектриса угла при основании $\angle ABC$. По условию задачи нам даны:

1. Длина биссектрисы $BD = l$.
2. Угол, который биссектриса $BD$ образует с основанием $BC$, то есть $\angle DBC = \alpha$.

Так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то $\angle ABD = \angle DBC = \alpha$.

Следовательно, угол при основании треугольника $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, углы при основании равны: $\angle ACB = \angle ABC = 2\alpha$.

Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (2\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 4\alpha$.

Для построения треугольника $ABC$ сначала можно построить вспомогательный треугольник $BDC$. В этом треугольнике нам известна сторона $BD = l$ и два угла: $\angle DBC = \alpha$ и $\angle BCD = 2\alpha$. Третий угол $\angle BDC$ легко находится из суммы углов треугольника:

$\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle BCD) = 180^\circ - (\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 3\alpha$.

Таким образом, мы можем построить $\triangle BDC$ по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам ($\angle CBD$ и $\angle BDC$), а затем достроить его до $\triangle ABC$.

Построение

Пусть нам дан отрезок, равный $l$, и угол, равный $\alpha$.

1. Построим отрезок $BD$ длиной $l$.
2. От луча $BD$ отложим угол $\angle DBC' = \alpha$.
3. Построим угол $3\alpha$, отложив угол $\alpha$ три раза подряд. Затем построим смежный с ним угол, равный $180^\circ - 3\alpha$.
4. От луча $DB$ в ту же полуплоскость, что и луч $BC'$, отложим угол $\angle BDC'' = 180^\circ - 3\alpha$.
5. Точка $C$ будет находиться на пересечении лучей $BC'$ и $DC''$. Треугольник $BDC$ построен.
6. Проведём прямую через точки $C$ и $D$. Вершина $A$ искомого треугольника будет лежать на этой прямой.
7. От луча $CB$ отложим угол $\angle CBA' = 2\alpha$ так, чтобы луч $BA'$ находился в той же полуплоскости относительно прямой $BC$, что и точка $D$. Это можно сделать, отложив от луча $BD$ угол $\angle DBA' = \alpha$ в полуплоскость, не содержащую точку $C$.
8. Точка $A$ является точкой пересечения прямой $CD$ и луча $BA'$.
9. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный $\triangle ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, длина отрезка $BD$ равна $l$.
• По построению, $\angle DBC = \alpha$, то есть угол между отрезком $BD$ и основанием $BC$ равен $\alpha$.
• В построенном $\triangle BDC$ углы $\angle DBC = \alpha$ и $\angle BDC = 180^\circ - 3\alpha$. Следовательно, третий угол $\angle BCD = 180^\circ - (\alpha + 180^\circ - 3\alpha) = 2\alpha$. Таким образом, $\angle ACB = 2\alpha$.
• По построению, $\angle ABC = 2\alpha$.
• Так как в $\triangle ABC$ два угла ($\angle ABC$ и $\angle ACB$) равны $2\alpha$, то он является равнобедренным с основанием $BC$.
• Так как $\angle ABC = 2\alpha$ и $\angle DBC = \alpha$, то $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построенный треугольник является искомым.

Исследование

Для того чтобы построение было возможно, все углы в треугольниках $BDC$ и $ABC$ должны быть положительными.

Для $\triangle BDC$ должны выполняться условия:

$\angle DBC = \alpha > 0$

$\angle BCD = 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha > 0$

$\angle BDC = 180^\circ - 3\alpha > 0 \Rightarrow 3\alpha < 180^\circ \Rightarrow \alpha < 60^\circ$

Для $\triangle ABC$ должны выполняться условия:

$\angle ABC = 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha > 0$

$\angle ACB = 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha > 0$

$\angle BAC = 180^\circ - 4\alpha > 0 \Rightarrow 4\alpha < 180^\circ \Rightarrow \alpha < 45^\circ$

Объединяя все условия, получаем, что для существования невырожденного треугольника $ABC$ необходимо и достаточно, чтобы данный угол $\alpha$ удовлетворял неравенству $0 < \alpha < 45^\circ$.

Если это условие выполнено, то построение по указанному алгоритму приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) треугольнику.

Ответ: Алгоритм построения описан в разделе «Построение». Задача имеет единственное решение при условии, что данный угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0 < \alpha < 45^\circ$.