Номер 172, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 3 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 3 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Вписанная окружность касается гипотенузы в точке, которая делит ее на отрезки $x$ и $y$. Согласно условию задачи, длины этих отрезков равны $x = 6 \text{ см}$ и $y = 9 \text{ см}$.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания:
$c = x + y = 6 + 9 = 15 \text{ см}$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Для прямоугольного треугольника это означает, что катеты делятся точками касания на отрезки, один из которых равен соответствующему отрезку на гипотенузе ($x$ или $y$), а другой — радиусу вписанной окружности ($r$).

Таким образом, длины катетов можно выразить следующим образом:
$a = y + r$
$b = x + r$

По условию, радиус вписанной окружности $r = 3 \text{ см}$. Подставим известные значения и найдем длины катетов:
$a = 9 + 3 = 12 \text{ см}$.
$b = 6 + 3 = 9 \text{ см}$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c = 12 + 9 + 15 = 36 \text{ см}$.

Ответ: 36 см.