Номер 174, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $E$. Найдите $AE$, если $BC = 8$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен 20 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $E$. Найдите $AE$, если $BC = 8$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $20$ см.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $F$, $D$ и $E$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины треугольника до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$AE = AF$
$BD = BF$
$CE = CD$

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.
По условию задачи, $P_{ABC} = 20$ см и $BC = 8$ см.

Выразим стороны треугольника через отрезки касательных:
$AB = AF + FB$
$BC = BD + DC$
$AC = AE + EC$

Подставим эти выражения в формулу периметра:
$P_{ABC} = (AF + FB) + (BD + DC) + (AE + EC)$
Используя равенства $AF = AE$, $FB = BD$, $DC = CE$, сгруппируем слагаемые:
$P_{ABC} = (AE + AF) + (BD + BF) + (CE + CD) = 2 \cdot AE + 2 \cdot BD + 2 \cdot CE = 2(AE + BD + CE)$

Полупериметр треугольника $p$ равен половине его периметра:
$p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Из формулы для периметра $P_{ABC} = 2(AE + BD + CE)$ следует, что полупериметр $p = AE + BD + CE$.

Рассмотрим сторону $BC$. Её длина равна $BC = BD + DC$. Так как $DC = CE$, мы можем записать: $BC = BD + CE$.
По условию $BC = 8$ см, следовательно, $BD + CE = 8$ см.

Теперь подставим известное значение суммы $BD + CE$ в выражение для полупериметра:
$p = AE + (BD + CE)$
$10 = AE + 8$

Отсюда находим искомую длину отрезка $AE$:
$AE = 10 - 8 = 2$ см.

Ответ: 2 см.