Номер 178, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к основанию, и углу, который эта высота образует с боковой стороной.

178. Постройте равнобедренный треугольник по высоте, проведённой к основанию, и углу, который эта высота образует с боковой стороной.

Для построения равнобедренного треугольника по заданной высоте, проведённой к основанию, и углу, который эта высота образует с боковой стороной, выполним анализ задачи, а затем само построение с помощью циркуля и линейки.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и высотой $BH=h$ построен. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что $BH \perp AC$ и точка $H$ — середина отрезка $AC$ ($AH = HC$).

Таким образом, высота $BH$ делит равнобедренный треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Рассмотрим один из них, например, $\triangle ABH$. В нём нам известны:

• Катет $BH$, равный заданной высоте $h$.
• Прилежащий к этому катету острый угол $\angle ABH$, равный заданному углу $\alpha$.
• $\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH$ — высота.

Следовательно, задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ABH$ по катету и прилежащему острому углу. Построив его, мы легко найдём третью вершину $C$, так как $H$ является серединой основания $AC$.

Построение

1. Проведём произвольную прямую $a$ и выберем на ней точку $H$. Эта прямая будет содержать основание искомого треугольника.
2. Через точку $H$ проведём прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$. На этой прямой будет лежать высота.
3. На прямой $b$ от точки $H$ отложим отрезок $BH$, равный заданной высоте $h$. Точка $B$ будет вершиной треугольника, противолежащей основанию.
4. От луча $HB$ построим угол $\angle ABH$, равный заданному углу $\alpha$. Другая сторона этого угла пересечёт прямую $a$ в точке $A$. Эта точка — одна из вершин основания.
5. На прямой $a$ от точки $H$ отложим отрезок $HC$, равный отрезку $AH$, так, чтобы точка $C$ лежала на прямой $a$ по другую сторону от $H$.
6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, отрезок $BH$ перпендикулярен стороне $AC$, следовательно, $BH$ является высотой треугольника. Длина $BH$ равна заданной высоте $h$. Угол между высотой $BH$ и боковой стороной $AB$, то есть $\angle ABH$, равен заданному углу $\alpha$ по построению.

Чтобы доказать, что $\triangle ABC$ равнобедренный, сравним треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$.

• Сторона $BH$ — общая.
• $AH = CH$ по построению.
• $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$ по построению.

Следовательно, $\triangle ABH \cong \triangle CBH$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и он построен по заданным элементам. Задача имеет решение, если заданный угол $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

Ответ: Треугольник построен согласно приведённому алгоритму и удовлетворяет всем условиям задачи.