Номер 180, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Постройте равносторонний треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины одной из сторон к другой стороне.

180. Постройте равносторонний треугольник по перпендикуляру, проведённому из середины одной из сторон к другой стороне.

Для решения задачи проведем анализ, на его основе выполним построение и докажем, что построенный треугольник удовлетворяет условиям задачи.

Анализ

Пусть искомый равносторонний треугольник $ABC$ построен. Пусть $M$ — середина стороны $BC$, а $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на сторону $AC$. Отрезок $MH$ — это заданный в условии отрезок.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, следовательно, $\angle C = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MHC$. По условию, $MH \perp AC$, значит, $\angle MHC = 90^\circ$. Угол $\angle MCH$ в этом треугольнике совпадает с углом $\angle C$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle MCH = 60^\circ$.

Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то в $\triangle MHC$ третий угол $\angle CMH = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, план построения становится ясен. Мы можем построить вспомогательный прямоугольный треугольник $MHC$ по катету $MH$ (заданному отрезку) и прилежащему к нему острому углу $\angle CMH = 30^\circ$. Построив этот треугольник, мы найдем положение вершины $C$ и середины $M$ стороны $BC$. Зная положение точек $M$ и $C$, мы можем найти вершину $B$ (так как $M$ — середина $BC$, то $BC = 2 \cdot MC$). Затем, зная сторону $BC$, мы можем построить и весь равносторонний треугольник $ABC$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней произвольную точку $H$.
2. Восстановим в точке $H$ перпендикуляр $p$ к прямой $l$.
3. На перпендикуляре $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HM$, равный заданному отрезку.
4. Построим угол, равный $30^\circ$, с вершиной в точке $M$ и одной стороной, совпадающей с лучом $MH$. Для этого можно сначала построить угол в $60^\circ$ (например, построив равносторонний треугольник), а затем разделить этот угол пополам с помощью циркуля и линейки (построить его биссектрису).
5. Проведем луч из точки $M$ под углом $30^\circ$ к отрезку $MH$. Точку пересечения этого луча с прямой $l$ обозначим $C$.
6. Теперь у нас есть вершина $C$ и середина $M$ стороны $BC$. Для нахождения вершины $B$ проведем прямую через точки $C$ и $M$. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $M$ отрезок $MB$, равный отрезку $MC$, так, чтобы точка $M$ оказалась между точками $B$ и $C$.
7. Мы получили сторону $BC$ искомого треугольника. Для нахождения третьей вершины $A$ построим две дуги окружностей с одинаковым радиусом, равным длине отрезка $BC$: одну с центром в точке $B$, другую — с центром в точке $C$.
8. Одну из точек пересечения этих дуг обозначим $A$.
9. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

По построению (шаги 7-8), $AB = BC = CA$, следовательно, $\triangle ABC$ — равносторонний.

По построению (шаг 6), точка $M$ является серединой стороны $BC$.

Вспомогательный треугольник $MHC$ был построен так, что $\angle MHC = 90^\circ$ (шаг 2) и $\angle CMH = 30^\circ$ (шаг 4). Следовательно, третий угол этого треугольника $\angle MCH = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $\triangle ABC$ — равносторонний, его угол при вершине $C$ равен $60^\circ$. Так как мы нашли, что $\angle MCH = 60^\circ$, то луч $CA$ совпадает с лучом $CH$, а значит, точка $H$ лежит на стороне $AC$.

Так как $MH \perp CH$ (прямая $l$), то $MH$ является перпендикуляром, проведенным из середины $M$ стороны $BC$ к стороне $AC$. Длина $MH$ равна длине заданного в условии отрезка. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник строится согласно алгоритму, приведенному в разделе "Построение".