Номер 175, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Перерисуйте в тетрадь рисунок 198. Постройте окружность, проходящую через точки $S$, $T$ и $F$.

Рис. 198

175. Перерисуйте в тетрадь рисунок 198. Постройте окружность, проходящую через точки $S$, $T$ и $F$.

Рис. 198

Чтобы построить окружность, проходящую через три точки S, T и F, не лежащие на одной прямой, необходимо найти ее центр и радиус. Центр такой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим эти точки (например, ST и TF). Эта точка называется центром описанной окружности треугольника STF.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Соедините точки S и T, а также точки T и F отрезками.
2. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку ST. Для этого из точек S и T как из центров проведите две дуги окружности одинакового радиуса (больше половины длины отрезка ST). Через две точки пересечения этих дуг проведите прямую.
3. Аналогичным образом постройте серединный перпендикуляр к отрезку TF. Для этого проведите две дуги одинакового радиуса (больше половины длины отрезка TF) с центрами в точках T и F, а затем соедините прямой точки их пересечения.
4. Точка пересечения построенных серединных перпендикуляров (обозначим ее O) и будет являться центром искомой окружности. Это следует из того, что любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Таким образом, точка O равноудалена от всех трех вершин: $OS = OT = OF$.
5. Установите ножку циркуля в точку O, а грифель — в любую из точек S, T или F.
6. Проведите окружность. Она пройдет через все три заданные точки.

Для проверки правильности построения можно найти координаты центра и радиус окружности аналитически. Введем систему координат, где левый нижний узел сетки — начало координат $(0, 0)$, а шаг сетки равен 1. Тогда координаты точек:

• S(1, 3)
• T(4, 5)
• F(6, 2)

Уравнение серединного перпендикуляра к ST. Середина отрезка $M_1$ имеет координаты $(\frac{1+4}{2}, \frac{3+5}{2}) = (2.5, 4)$. Угловой коэффициент прямой ST равен $k_{ST} = \frac{5-3}{4-1} = \frac{2}{3}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $k_1 = -\frac{1}{k_{ST}} = -\frac{3}{2}$. Уравнение перпендикуляра: $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 2.5)$, что упрощается до $y = -1.5x + 7.75$.

Уравнение серединного перпендикуляра к TF. Середина отрезка $M_2$ имеет координаты $(\frac{4+6}{2}, \frac{5+2}{2}) = (5, 3.5)$. Угловой коэффициент прямой TF равен $k_{TF} = \frac{2-5}{6-4} = -\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент перпендикуляра $k_2 = -\frac{1}{k_{TF}} = \frac{2}{3}$. Уравнение перпендикуляра: $y - 3.5 = \frac{2}{3}(x - 5)$, что упрощается до $y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{6}$.

Координаты центра окружности O. Найдем точку пересечения перпендикуляров, решив систему уравнений:$-1.5x + 7.75 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{6}$.Решая это уравнение, получаем $x = 3.5$. Подставляя $x$ в любое из уравнений, находим $y = 2.5$.Таким образом, центр окружности — точка $O(3.5, 2.5)$.

Радиус окружности R. Радиус — это расстояние от центра O до любой из точек, например, S:$R^2 = (x_S - x_O)^2 + (y_S - y_O)^2 = (1 - 3.5)^2 + (3 - 2.5)^2 = (-2.5)^2 + (0.5)^2 = 6.25 + 0.25 = 6.5$.$R = \sqrt{6.5}$.

Ответ: Для построения окружности необходимо найти точку O — пересечение серединных перпендикуляров к отрезкам ST и TF. Эта точка является центром окружности. Радиус равен расстоянию от точки O до любой из заданных точек (S, T или F). После нахождения центра O и установки радиуса, с помощью циркуля проводится окружность. На рисунке центр окружности будет находиться в точке с координатами (3.5, 2.5).