Номер 171, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 6 : 5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 68 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $6:5$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен $68$ см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $6:5$, считая от вершины угла при основании. Для стороны $AB$ и вершины $A$ (вершина угла при основании) это означает, что $AK:KB = 6:5$.

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности. Тогда длины отрезков равны $AK = 6x$ и $KB = 5x$. Следовательно, длина боковой стороны $AB$ равна: $AB = AK + KB = 6x + 5x = 11x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны. Следовательно:

• Из вершины $A$: $AM = AK = 6x$.
• Из вершины $B$: $BL = BK = 5x$.
• Из вершины $C$: $CM = CL$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то $BC = 11x$. С другой стороны, $BC = BL + CL$. Подставим известные значения: $11x = 5x + CL$, откуда $CL = 11x - 5x = 6x$. Значит, $CM = CL = 6x$.

Теперь найдем длину основания $AC$: $AC = AM + MC = 6x + 6x = 12x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC$. Подставим найденные выражения для сторон через $x$: $P = 11x + 11x + 12x = 34x$.

Из условия задачи известно, что периметр равен $68$ см. Составим и решим уравнение: $34x = 68$ $x = \frac{68}{34}$ $x = 2$.

Теперь можем найти длину боковой стороны: Боковая сторона = $11x = 11 \cdot 2 = 22$ см.

Ответ: 22 см.