Номер 169, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $OK = OF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $OK = OF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Для доказательства того, что точка $O$ является центром вписанной окружности, необходимо показать, что она является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

1. Согласно условию задачи, точка $O$ принадлежит биссектрисе $BM$ угла $\angle ABC$. Это означает, что точка $O$ уже лежит на одной из биссектрис треугольника — биссектрисе угла $B$.

2. Теперь рассмотрим угол $A$ (или $\angle BAC$), образованный сторонами $AB$ и $AC$. По условию, из точки $O$ к этим сторонам проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$. Длины этих перпендикуляров, $OK$ и $OF$, по определению являются расстояниями от точки $O$ до сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

3. В условии задачи дано равенство $OK = OF$. Это означает, что точка $O$ равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от сторон угла $\angle BAC$.

4. Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Так как точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$, она лежит на биссектрисе угла $A$.

5. Таким образом, мы установили, что точка $O$ является точкой пересечения двух биссектрис треугольника $ABC$: биссектрисы угла $B$ (по условию) и биссектрисы угла $A$ (что было доказано). Точка пересечения биссектрис треугольника и является центром вписанной в него окружности.

Следовательно, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.