Номер 162, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 4 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 2 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых больше 4 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми равно $h = 2$ см. Обозначим расстояние от произвольной точки $M$ до прямой $a$ как $d_a$, а до прямой $b$ — как $d_b$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), для которых выполняется условие $d_a + d_b > 4$ см.

Рассмотрим три возможных случая расположения точки $M$ относительно прямых $a$ и $b$.

1. Точка $M$ лежит в полосе между прямыми $a$ и $b$, включая сами прямые. Для любой такой точки сумма расстояний до этих прямых постоянна и равна расстоянию между прямыми: $d_a + d_b = h = 2$ см. Неравенство $2 > 4$ является ложным, следовательно, ни одна точка из этой полосы не принадлежит искомому ГМТ.

2. Точка $M$ лежит вне полосы со стороны прямой $a$. В этом случае расстояние от точки $M$ до дальней прямой $b$ равно сумме ее расстояния до ближней прямой $a$ и расстояния между прямыми: $d_b = d_a + h = d_a + 2$. Подставим это выражение в наше неравенство:$d_a + (d_a + 2) > 4$.Упрощая, получаем:$2d_a + 2 > 4$,$2d_a > 2$,$d_a > 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $a$ (в той полуплоскости от $a$, которая не содержит прямую $b$). Множество таких точек образует открытую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, параллельная прямой $a$ и находящаяся на расстоянии 1 см от неё с внешней стороны.

3. Точка $M$ лежит вне полосы со стороны прямой $b$. Аналогично предыдущему случаю, расстояние от точки $M$ до дальней прямой $a$ равно $d_a = d_b + h = d_b + 2$. Подставим в неравенство:$(d_b + 2) + d_b > 4$.Упрощая, получаем:$2d_b + 2 > 4$,$2d_b > 2$,$d_b > 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии более 1 см от прямой $b$ (в той полуплоскости от $b$, которая не содержит прямую $a$). Это множество точек также образует открытую полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая, параллельная прямой $b$ и находящаяся на расстоянии 1 см от неё с внешней стороны.

Таким образом, искомое геометрическое место точек представляет собой объединение двух непересекающихся открытых полуплоскостей, которые лежат вне полосы, образованной данными прямыми.

Ответ: Искомое ГМТ — это объединение двух открытых полуплоскостей. Первая полуплоскость ограничена прямой, параллельной первой из данных прямых и находящейся от нее на расстоянии 1 см с внешней стороны (в полуплоскости, не содержащей вторую данную прямую). Вторая полуплоскость ограничена прямой, параллельной второй из данных прямых и находящейся от нее на расстоянии 1 см с внешней стороны. Иначе говоря, это вся плоскость за исключением замкнутой полосы шириной 4 см, которая симметрично охватывает данные прямые.