Номер 160, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Даны точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ вершин $D$ треугольников $DEF$ таких, что медиана $DM$ равна $2,5$ см.

160. Даны точки $E$ и $F$. Найдите ГМТ вершин $D$ треугольников $DEF$ таких, что медиана $DM$ равна 2,5 см.

По определению, медиана $DM$ в треугольнике $DEF$ — это отрезок, соединяющий вершину $D$ с серединой противолежащей стороны $EF$. Обозначим середину отрезка $EF$ точкой $M$.

Так как точки $E$ и $F$ по условию задачи являются фиксированными, то и отрезок $EF$, и его середина, точка $M$, также имеют постоянное положение на плоскости.

Условие задачи гласит, что длина медианы $DM$ равна 2,5 см. Это означает, что расстояние от искомой вершины $D$ до фиксированной точки $M$ является постоянной величиной, равной 2,5 см.

Геометрическим местом точек (ГМТ), находящихся на заданном постоянном расстоянии от некоторой фиксированной точки, является окружность. В данном случае, центром этой окружности будет точка $M$, а радиусом — длина медианы, то есть $R = 2,5$ см.

Таким образом, все возможные положения вершины $D$ лежат на окружности с центром в середине отрезка $EF$ и радиусом 2,5 см.

Важным уточнением является то, что точки $D$, $E$ и $F$ должны образовывать треугольник. Это означает, что точка $D$ не может лежать на прямой, проходящей через точки $E$ и $F$. Центр окружности, точка $M$, лежит на прямой $EF$. Следовательно, из всего множества точек окружности необходимо исключить две точки, в которых она пересекает прямую $EF$, так как в этих случаях треугольник $DEF$ вырождается в отрезок.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в середине отрезка $EF$ и радиусом 2,5 см, за исключением двух точек пересечения этой окружности с прямой $EF$.