Номер 166, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. На рисунке 196 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $M$ большей окружности проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если $MD = 14$ см, а $\angle BMC = 120^\circ$.

Рис. 196

166. На рисунке 196 две окружности имеют общий центр O. Через точку M большей окружности проведены касательные MB и MC к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если $MD = 14 \text{ см}$, а $\angle BMC = 120^\circ$.

Рис. 196

Пусть $R$ – радиус большей окружности, а $r$ – радиус меньшей окружности. Центр обеих окружностей – точка $O$.

Поскольку точка $M$ лежит на большей окружности, расстояние от центра до этой точки равно радиусу большей окружности, то есть $OM = R$.

$MB$ и $MC$ – касательные к меньшей окружности, проведенные из одной точки $M$. По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, $MB = MC$.

Отрезок $OM$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $M$, из которой проведены касательные. По свойству касательных, $OM$ является биссектрисой угла $\angle BMC$.

Так как по условию $\angle BMC = 120^\circ$, то $\angle BMO = \frac{\angle BMC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Проведем радиус $OB$ к точке касания $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp MB$, и треугольник $\triangle OBM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OBM = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBM$:

• Гипотенуза $OM = R$.
• Катет $OB = r$.
• Угол $\angle BMO = 60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle BMO) = \frac{OB}{OM}$$\sin(60^\circ) = \frac{r}{R}$

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем связь между радиусами:$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $r = R \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки $O$, $D$ и $M$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $MD$ равна разности расстояний от центра $O$ до точек $M$ и $D$. $OM = R$, а $OD = r$ (так как $D$ лежит на меньшей окружности). Следовательно:$MD = OM - OD = R - r$.

По условию $MD = 14$ см, значит, $R - r = 14$.

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} r = R \frac{\sqrt{3}}{2} \\ R - r = 14 \end{cases}$

Подставим выражение для $r$ из первого уравнения во второе:$R - R \frac{\sqrt{3}}{2} = 14$

Вынесем $R$ за скобки:$R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 14$

$R(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) = 14$

Найдем $R$:$R = \frac{14 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{28}{2 - \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:$R = \frac{28(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{28(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 28(2 + \sqrt{3})$

Таким образом, радиус большей окружности равен $28(2 + \sqrt{3})$ см.

Ответ: $28(2 + \sqrt{3})$ см.