Номер 176, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $60^\circ$. Сколько решений имеет задача?

176. Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол $60^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

Постройте касательную к данной окружности, образующую с данной прямой угол 60°

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и прямая $l$. Построение основано на том, что искомая касательная должна принадлежать одному из двух семейств параллельных прямых, образующих угол 60° с прямой $l$, и при этом быть перпендикулярной радиусу, проведенному в точку касания.

Алгоритм построения:
1. Выбрать на прямой $l$ произвольную точку $A$ и построить через нее две вспомогательные прямые $m_1$ и $m_2$, каждая из которых образует с прямой $l$ угол 60°. Эти прямые задают два возможных направления для искомых касательных.
2. Для направления, заданного прямой $m_1$, найти соответствующие касательные:
а) Построить прямую $n_1$, проходящую через центр окружности $O$ и перпендикулярную прямой $m_1$.
б) Найти точки пересечения прямой $n_1$ с окружностью $\omega$ — точки $T_1$ и $T_2$.
в) Через точки $T_1$ и $T_2$ провести прямые $t_1$ и $t_2$, перпендикулярные прямой $n_1$. Прямые $t_1$ и $t_2$ будут касаться окружности и будут параллельны $m_1$.
3. Аналогично для направления, заданного прямой $m_2$, найти соответствующие касательные:
а) Построить прямую $n_2$, проходящую через центр окружности $O$ и перпендикулярную прямой $m_2$.
б) Найти точки пересечения прямой $n_2$ с окружностью $\omega$ — точки $T_3$ и $T_4$.
в) Через точки $T_3$ и $T_4$ провести прямые $t_3$ и $t_4$, перпендикулярные прямой $n_2$.
Полученные четыре прямые $t_1, t_2, t_3, t_4$ являются искомыми касательными, так как они касаются данной окружности и образуют с данной прямой $l$ угол 60°.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному алгоритму.

Сколько решений имеет задача?

Задача всегда имеет 4 решения, независимо от взаимного расположения исходной прямой и окружности.
Это следует из следующих соображений:
- Существует ровно два различных направления (два семейства параллельных прямых), которые образуют угол 60° с данной прямой $l$.
- Для любого заданного направления существует ровно две различные касательные к окружности, параллельные этому направлению. Они расположены по разные стороны от центра окружности.
Следовательно, общее количество искомых касательных равно $2 \times 2 = 4$.

Ответ: Задача имеет 4 решения.