Номер 31, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Луч $OK$ проходит между сторонами угла $POM$. Луч $OF$ — биссектриса угла $POK$, луч $OT$ — биссектриса угла $KOM$. Найдите угол $POM$, если $\angle FOT = 76^\circ$.

31. Луч $OK$ проходит между сторонами угла $POM$. Луч $OF$ — биссектриса угла $POK$, луч $OT$ — биссектриса угла $KOM$. Найдите угол $POM$, если $\angle FOT = 76^\circ$.

Согласно условию, луч ОК делит угол РОМ на два угла: $\angle POK$ и $\angle KOM$. Таким образом, величина угла РОМ равна сумме величин этих двух углов:

$\angle POM = \angle POK + \angle KOM$

Луч OF является биссектрисой угла POK. Это означает, что он делит угол POK на два равных угла. Нас интересует угол FOK, который составляет половину угла POK:

$\angle FOK = \frac{1}{2} \angle POK$

Аналогично, луч OT является биссектрисой угла KOM, поэтому угол KOT составляет половину угла KOM:

$\angle KOT = \frac{1}{2} \angle KOM$

Угол FOT образован лучами OF и OT. Так как луч OK проходит между ними, то величина угла FOT равна сумме углов FOK и KOT:

$\angle FOT = \angle FOK + \angle KOT$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\angle FOK$ и $\angle KOT$:

$\angle FOT = \frac{1}{2} \angle POK + \frac{1}{2} \angle KOM$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle FOT = \frac{1}{2} (\angle POK + \angle KOM)$

Мы знаем, что сумма углов $\angle POK$ и $\angle KOM$ равна углу $\angle POM$. Заменим выражение в скобках:

$\angle FOT = \frac{1}{2} \angle POM$

По условию $\angle FOT = 76^\circ$. Подставим это значение в полученную формулу:

$76^\circ = \frac{1}{2} \angle POM$

Чтобы найти величину угла POM, умножим обе части уравнения на 2:

$\angle POM = 76^\circ \times 2 = 152^\circ$

Ответ: $152^\circ$.