Номер 29, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. На рисунке 142 $∠KAF = 54^\circ$, $∠PAE = 68^\circ$, $∠KAE = 94^\circ$.

Найдите угол $∠PAF$.

Рис. 142

29. На рисунке 142 $\angle KAF = 54^\circ$, $\angle PAE = 68^\circ$, $\angle KAE = 94^\circ$. Найдите угол $\angle PAF$.

Для решения задачи воспользуемся свойством измерения углов. Из рисунка видно, что угол $\angle KAE$ составлен из нескольких меньших углов. Мы можем записать следующие соотношения:

1. Угол $\angle KAF$ состоит из двух углов $\angle KAP$ и $\angle PAF$:

$\angle KAF = \angle KAP + \angle PAF$

2. Угол $\angle PAE$ состоит из двух углов $\angle PAF$ и $\angle FAE$:

$\angle PAE = \angle PAF + \angle FAE$

Сложим величины углов $\angle KAF$ и $\angle PAE$:

$\angle KAF + \angle PAE = (\angle KAP + \angle PAF) + (\angle PAF + \angle FAE)$

Перегруппируем слагаемые в правой части равенства:

$\angle KAF + \angle PAE = (\angle KAP + \angle PAF + \angle FAE) + \angle PAF$

Сумма углов в скобках $(\angle KAP + \angle PAF + \angle FAE)$ представляет собой угол $\angle KAE$. Таким образом, мы можем переписать равенство в виде:

$\angle KAF + \angle PAE = \angle KAE + \angle PAF$

Теперь из этого равенства выразим искомый угол $\angle PAF$:

$\angle PAF = \angle KAF + \angle PAE - \angle KAE$

Подставим известные из условия задачи значения: $\angle KAF = 54^\circ$, $\angle PAE = 68^\circ$, $\angle KAE = 94^\circ$.

$\angle PAF = 54^\circ + 68^\circ - 94^\circ$

Выполним вычисления:

$\angle PAF = 122^\circ - 94^\circ = 28^\circ$

Ответ: $28^\circ$